উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $z = -1 - \sqrt{3}i$
   এখানে বাস্তব অংশ $x = -1 < 0$ এবং কাল্পনিক অংশ $y = -\sqrt{3} < 0$।
   যেহেতু সংখ্যাটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত,
   অতএব সংখ্যাটির মুখ্য আর্গুমেন্ট,
   $\text{Arg}(z) = -\left(\pi - \tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right|\right) = -\left(\pi - \tan^{-1}\left|\frac{-\sqrt{3}}{-1}\right|\right)$
   $= -\left(\pi - \tan^{-1}(\sqrt{3})\right) = -\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{2\pi}{3}$ (অথবা সাধারণ আর্গুমেন্ট $\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$)।

   নির্ণেয় আর্গুমেন্ট $= -\frac{2\pi}{3}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $p = x + iy$
   সুতরাং, $p$-এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা $q = \bar{p} = x - iy$।

   প্রদত্ত শর্তানুসারে,
   $|p + 3i| = |q + 4|$
   $\implies |x + iy + 3i| = |x - iy + 4|$
   $\implies |x + i(y + 3)| = |(x + 4) - iy|$
   $\implies \sqrt{x^2 + (y + 3)^2} = \sqrt{(x + 4)^2 + (-y)^2}$
   উভয়পক্ষ বর্গ করে পাই,
   $x^2 + y^2 + 6y + 9 = x^2 + 8x + 16 + y^2$
   $\implies 6y + 9 = 8x + 16$
   $\implies 8x - 6y + 7 = 0$

   যা একটি সরলরেখার সমীকরণ।
   অতএব, নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ হলো $8x - 6y + 7 = 0$ (একটি সরলরেখা)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $R = x + y + z = 0 \implies x + y + z = 0$।
   ধরি, $A = x + y\omega + z\omega^2$ এবং $B = x + y\omega^2 + z\omega$

   আমরা জানি,
   $A + B = 2x + y(\omega + \omega^2) + z(\omega + \omega^2)$
   যেহেতু $1 + \omega + \omega^2 = 0 \implies \omega + \omega^2 = -1$,
   $\therefore A + B = 2x - y - z = 2x - (y + z)$
   যেহেতু $x + y + z = 0 \implies y + z = -x$,
   $\therefore A + B = 2x - (-x) = 3x$

   আবার,
   $A - B = (x + y\omega + z\omega^2) - (x + y\omega^2 + z\omega)$
   $= y(\omega - \omega^2) - z(\omega - \omega^2) = (y - z)(\omega - \omega^2)$

   এখন,
   $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2) = (A + B)\left[\frac{1}{4}(A + B)^2 + \frac{3}{4}(A - B)^2\right]$
   অথবা,
   $AB = (x + y\omega + z\omega^2)(x + y\omega^2 + z\omega)$
   $= x^2 + xy\omega^2 + xz\omega + xy\omega + y^2\omega^3 + yz\omega^2 + xz\omega^2 + yz\omega^4 + z^2\omega^3$
   $= x^2 + y^2 + z^2 + xy(\omega + \omega^2) + yz(\omega + \omega^2) + zx(\omega + \omega^2)$
   $= x^2 + y^2 + z^2 - (xy + yz + zx)$

   আমরা জানি,
   $(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) = 0$
   $\implies x^2 + y^2 + z^2 = -2(xy + yz + zx)$
   অতএব,
   $AB = -2(xy + yz + zx) - (xy + yz + zx) = -3(xy + yz + zx)$

   আবার,
   $A^3 + B^3 = (A + B)^3 - 3AB(A + B)$
   $= (3x)^3 - 3[-3(xy + yz + zx)](3x)$
   $= 27x^3 + 27x(xy + yz + zx)$
   $= 27x [x^2 + xy + yz + zx]$
   $= 27x [x(x + y) + z(x + y)]$
   $= 27x (x + y)(x + z)$

   যেহেতু $x + y + z = 0$:
   $x + y = -z$ এবং $x + z = -y$
   $\therefore A^3 + B^3 = 27x(-z)(-y) = 27xyz$

   অতএব, $(x + y\omega + z\omega^2)^3 + (x + y\omega^2 + z\omega)^3 = 27xyz$। (প্রমাণিত)