গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে, রাশিটি $\frac{(1+x)^n}{1-x}$ যেখানে $n \in \mathbb{N}$ এবং $|x| < 1$।

আমরা জানি,
$(1-x)^{-1} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^n + \dots$
এবং দ্বিপদী উপপাদ্য অনুযায়ী,
$(1+x)^n = \binom{n}{0} + \binom{n}{1}x + \binom{n}{2}x^2 + \dots + \binom{n}{n}x^n$

অতএব,
$\frac{(1+x)^n}{1-x} = (1+x)^n (1-x)^{-1}$
$= \left[ \binom{n}{0} + \binom{n}{1}x + \binom{n}{2}x^2 + \dots + \binom{n}{n}x^n \right] \left[ 1 + x + x^2 + \dots + x^n + \dots \right]$

উক্ত বিস্তৃতিতে $x^n$-এর সহগ হবে:
$\binom{n}{0} \cdot 1 + \binom{n}{1} \cdot 1 + \binom{n}{2} \cdot 1 + \dots + \binom{n}{n} \cdot 1$
$= \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \dots + \binom{n}{n}$
$= 2^n$

সুতরাং, বিস্তৃতিতে $x^n$ এর সহগ $2^n$। (দেখানো হলো)