পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টরের সাহায্যে নির্ণয় করা হয়, তাকে অবস্থান ভেক্টর বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   î হলো X-অক্ষ বরাবর একটি একক ভেক্টর, যার মান |î| = 1।
   দুটি ভেক্টরের ডট গুণনের সংজ্ঞানুযায়ী,
   î · î = |î| |î| cos θ
   যেহেতু দুটি ভেক্টরই একই দিকে (X-অক্ষ বরাবর) ক্রিয়াশীল, তাদের মধ্যকার কোণ θ = 0°।
   সুতরাং,
   î · î = 1 × 1 × cos 0° = 1 × 1 × 1 = 1
   যেহেতু এর মান 1, তাই î · î ≠ 0।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   (\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k})
   (\vec{B} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 7\hat{k})

   (\vec{A}) বরাবর (\vec{B}) এর লম্ব অভিক্ষেপ হলো (B \cos\theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}|})

   এখন,
   (\vec{A} \cdot \vec{B} = (2)( -1) + (3)(2) + (5)(7) = -2 + 6 + 35 = 39)

   (|\vec{A}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 9 + 25} = \sqrt{38})

   অতএব, অভিক্ষেপ (= \frac{39}{\sqrt{38}} \approx 6.327)
   উত্তর: (\frac{39}{\sqrt{38}}) বা প্রায় 6.33 একক।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের ভেক্টর তিনটি হলো:
   (\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k})
   (\vec{B} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 7\hat{k})
   (\vec{C} = \hat{i} + 7\hat{j} - \hat{k})

   তিনটি ভেক্টর একই সমতলে অবস্থান করার শর্ত হলো তাদের স্কেলার ত্রৈধ গুণন শূন্য হবে, অর্থাৎ (\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = 0) হতে হবে।

   এখন এদের নির্ণায়কের মান নির্ণয় করি:
   (\begin{vmatrix} 2 & 3 & 5 \ -1 & 2 & 7 \ 1 & 7 & -1 \end{vmatrix})
   (= 2[2(-1) - 7(7)] - 3[(-1)(-1) - 7(1)] + 5[(-1)(7) - 2(1)])
   (= 2[-2 - 49] - 3[1 - 7] + 5[-7 - 2])
   (= 2(-51) - 3(-6) + 5(-9))
   (= -102 + 18 - 45)
   (= -129)

   যেহেতু (\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = -129 \neq 0),
   সুতরাং উদ্দীপকের ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থান করবে না।