পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো নিবেশনের যেকোনো অনুমিত গড় বা কল্পিত মান থেকে নির্ণীত পরিঘাতকে অশোধিত পরিঘাত (Raw Moment) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো নিবেশনের বঙ্কিমতা শূন্য হওয়ার অর্থ হলো নিবেশনটি সম্পূর্ণ প্রতিসম (Symmetric)। এ ধরনের নিবেশনে মানগুলো কেন্দ্রীয় মানের উভয় পাশে সমভাবে বিস্তৃত থাকে এবং এর গড়, মধ্যমা ও প্রচুরক পরস্পর সমান হয় (গড় = মধ্যমা = প্রচুরক)। ফলে এর প্রথম বঙ্কিমতাঙ্ক বা কার্ল পিয়ারসনের বঙ্কিমতাঙ্ক শূন্য ($\beta_1 = 0$ বা $\gamma_1 = 0$) হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   এখানে রোগীর সংখ্যা, $n = 7$
   বয়সগুলো হলো ($x_i$): 65, 61, 75, 64, 80, 70, 68

   গড়, $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{65 + 61 + 75 + 64 + 80 + 70 + 68}{7} = \frac{483}{7} = 69$

   বিচ্যুতি $(x_i - \bar{x})$, এর বর্গ এবং চতুর্ঘাত নির্ণয় করি:

   • $x_1 = 65$: $x_1 - 69 = -4$, $(-4)^2 = 16$, $(-4)^4 = 256$
   • $x_2 = 61$: $x_2 - 69 = -8$, $(-8)^2 = 64$, $(-8)^4 = 4096$
   • $x_3 = 75$: $x_3 - 69 = 6$, $6^2 = 36$, $6^4 = 1296$
   • $x_4 = 64$: $x_4 - 69 = -5$, $(-5)^2 = 25$, $(-5)^4 = 625$
   • $x_5 = 80$: $x_5 - 69 = 11$, $11^2 = 121$, $11^4 = 14641$
   • $x_6 = 70$: $x_6 - 69 = 1$, $1^2 = 1$, $1^4 = 1$
   • $x_7 = 68$: $x_7 - 69 = -1$, $(-1)^2 = 1$, $(-1)^4 = 1$

   অতএব,
   $\sum (x_i - \bar{x})^2 = 16 + 64 + 36 + 25 + 121 + 1 + 1 = 264$ [ভুল সংশোধন: $16+64+36+25+121+1+1 = 264$]
   $\sum (x_i - \bar{x})^4 = 256 + 4096 + 1296 + 625 + 14641 + 1 + 1 = 20916$

   সুতরাং,
   ২য় কেন্দ্রীয় পরিঘাত, $\mu_2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{264}{7} \approx 37.71$
   ৪র্থ কেন্দ্রীয় পরিঘাত, $\mu_4 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^4}{n} = \frac{20916}{7} \approx 2988$

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   বঙ্কিমতা ও সূঁচলতা মূল্যায়নের জন্য কেন্দ্রীয় পরিঘাতসমূহ ব্যবহার করা হয়:

   'গ' থেকে প্রাপ্ত:
   $\mu_2 = \frac{264}{7} \approx 37.71$
   $\mu_4 = \frac{20916}{7} \approx 2988$

   ৩য় কেন্দ্রীয় পরিঘাত $\mu_3$ নির্ণয়:
   $\sum (x_i - \bar{x})^3 = (-4)^3 + (-8)^3 + 6^3 + (-5)^3 + 11^3 + 1^3 + (-1)^3$
   $= -64 - 512 + 216 - 125 + 1331 + 1 - 1 = 846$
   $\mu_3 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^3}{n} = \frac{846}{7} \approx 120.86$

   ১. বঙ্কিমতা যাচাই:
   বঙ্কিমতাঙ্ক, $\gamma_1 = \frac{\mu_3}{\mu_2^{3/2}} = \frac{120.86}{(37.71)^{1.5}} = \frac{120.86}{231.57} \approx 0.522 > 0$
   যেহেতু $\gamma_1 > 0$ (বা $\mu_3 > 0$), তাই নিবেশনটি ধনাত্মক বঙ্কিম (Positively Skewed)। অর্থাৎ তথ্যের বিস্তার ডানদিকে বেশি।

   ২. সূঁচলতা যাচাই:
   সূঁচলতাঙ্ক, $\beta_2 = \frac{\mu_4}{\mu_2^2} = \frac{2988}{(37.71)^2} = \frac{2988}{1422.04} \approx 2.10$
   যেহেতু $\beta_2 < 3$, তাই নিবেশনটি চাপা সূঁচল বা অনতিসূঁচল (Platykurtic)। অর্থাৎ নিবেশনটির শীর্ষভাগ পরিমিত নিবেশনের তুলনায় সমতল বা চাপা।