গণিত • BUET • বাংলাদেশ প্রকৌশল বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষা ২০১৮-২০১৯

গণিত প্রশ্ন

19.

একটি একক ভেক্টর নির্ণয় কর যা a⃗=i^+j^+k^\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} এবং b⃗=i^−j^−k^\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k} ভেক্টরদ্বয়ের সমতলীয় এবং a⃗\vec{a} ভেক্টরের উপর লম্ব।

উত্তর ও ব্যাখ্যা

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
a⃗=i^+j^+k^\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}
b⃗=i^−j^−k^\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}

যেহেতু নির্ণেয় ভেক্টর v⃗\vec{v} ভেক্টরদ্বয় a⃗\vec{a} ও b⃗\vec{b} এর সমতলে অবস্থিত, তাই একে লেখা যায়:
v⃗=a⃗+λb⃗\vec{v} = \vec{a} + \lambda\vec{b}
বা, v⃗=(i^+j^+k^)+λ(i^−j^−k^)\vec{v} = (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})
v⃗=(1+λ)i^+(1−λ)j^+(1−λ)k^\vec{v} = (1 + \lambda)\hat{i} + (1 - \lambda)\hat{j} + (1 - \lambda)\hat{k}

যেহেতু v⃗\vec{v} ভেক্টরটি a⃗\vec{a} এর ওপর লম্ব, সেহেতু:
v⃗⋅a⃗=0\vec{v} \cdot \vec{a} = 0
বা, [(1+λ)i^+(1−λ)j^+(1−λ)k^]⋅(i^+j^+k^)=0[(1 + \lambda)\hat{i} + (1 - \lambda)\hat{j} + (1 - \lambda)\hat{k}] \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0
বা, (1+λ)(1)+(1−λ)(1)+(1−λ)(1)=0(1 + \lambda)(1) + (1 - \lambda)(1) + (1 - \lambda)(1) = 0
বা, 1+λ+1−λ+1−λ=01 + \lambda + 1 - \lambda + 1 - \lambda = 0
বা, 3−λ=03 - \lambda = 0
∴λ=3\therefore \lambda = 3

λ\lambda-এর মান বসিয়ে পাই,
v⃗=(1+3)i^+(1−3)j^+(1−3)k^\vec{v} = (1 + 3)\hat{i} + (1 - 3)\hat{j} + (1 - 3)\hat{k}
v⃗=4i^−2j^−2k^\vec{v} = 4\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}

এখন, v⃗\vec{v} এর সমান্তরাল একক ভেক্টর:
η^=±v⃗∣v⃗∣=±4i^−2j^−2k^42+(−2)2+(−2)2\hat{\eta} = \pm \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \pm \frac{4\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}}{\sqrt{4^2 + (-2)^2 + (-2)^2}}
=±2(2i^−j^−k^)16+4+4=±2(2i^−j^−k^)24=±2(2i^−j^−k^)26= \pm \frac{2(2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})}{\sqrt{16 + 4 + 4}} = \pm \frac{2(2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})}{\sqrt{24}} = \pm \frac{2(2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})}{2\sqrt{6}}
=±2i^−j^−k^6= \pm \frac{2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{6}}

উত্তর: ±2i^−j^−k^6\pm \frac{2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{6}}

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন