গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় $A(1,2,3)$, $B(2,3,1)$ এবং $C(3,1,2)$।

অতএব,
$\vec{AB} = (2 - 1)\hat{i} + (3 - 2)\hat{j} + (1 - 3)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$
$\vec{AC} = (3 - 1)\hat{i} + (1 - 2)\hat{j} + (2 - 3)\hat{k} = 2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$

এখন, $\vec{AB}$ ও $\vec{AC}$ এর ক্রস গুণন:
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & -1 & -1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(-1 - 2) - \hat{j}(-1 - (-4)) + \hat{k}(-1 - 2)$
$= -3\hat{i} - 3\hat{j} - 3\hat{k}$

ক্রস গুণনের মান:
$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

অতএব, $\triangle ABC$ এর ক্ষেত্রফল:
$\Delta = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ বর্গ একক} \approx 2.598 \text{ বর্গ একক}$

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ বর্গ একক।