গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

(a) দেওয়া আছে,
$\sqrt[3]{a - ib} = x - iy$
উভয়পক্ষকে ঘন করে পাই,
$a - ib = (x - iy)^3$
$\Rightarrow a - ib = x^3 - 3x^2(iy) + 3x(iy)^2 - (iy)^3$
$\Rightarrow a - ib = x^3 - 3ix^2y - 3xy^2 + iy^3$
$\Rightarrow a - ib = (x^3 - 3xy^2) - i(3x^2y - y^3)$
উভয়পক্ষ হতে বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই,
$a = x^3 - 3xy^2$
$b = 3x^2y - y^3$

এখন,
$a + ib = (x^3 - 3xy^2) + i(3x^2y - y^3)$
$= x^3 + 3x^2(iy) + 3x(iy)^2 + (iy)^3$
$= (x + iy)^3$
উভয়পক্ষে ঘনমূল নিয়ে পাই,
$\sqrt[3]{a + ib} = x + iy$
(দেখানো হলো)

(b) তিনটি ভেক্টর সমতলীয় হবে যদি তাদের দ্বারা গঠিত নির্ণায়কের মান শূন্য হয়।
অতএব,
$\begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 3 & -2 & 4 \\ 1 & -3 & a \end{vmatrix} = 0$
$\Rightarrow 2(-2a + 12) - 1(3a - 4) - 1(-9 + 2) = 0$
$\Rightarrow -4a + 24 - 3a + 4 + 7 = 0$
$\Rightarrow -7a + 35 = 0$
$\Rightarrow 7a = 35$
$\Rightarrow a = 5$
উত্তর: $a = 5$