গণিত • CUET • চট্টগ্রাম প্রকৌশল ও প্রযুক্তি বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষা ২০০৭-২০০৮

গণিত প্রশ্ন

7.

(a)  ∫1e2dxx(1+ln⁡x)2 \int_{1}^{e^{2}} \frac{dx}{x \left ( 1 + \ln{x} \right )^{2}}  (b) মান নির্ণয় কর  ∫dx(x(x4−1) \int \frac{dx}{\left ( x \left ( x^{4} - 1 \right ) \right.}

উত্তর ও ব্যাখ্যা

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

(a)
প্রদত্ত যোগজ:
I=∫1e2dxx(1+ln⁡x)2I = \int_{1}^{e^{2}} \frac{dx}{x (1 + \ln x)^{2}}
ধরি, 1+ln⁡x=z1 + \ln x = z
উভয়পক্ষে অন্তরীকরণ করে,
1xdx=dz\frac{1}{x} dx = dz
সীমা পরিবর্তন:
যখন x=1x = 1, তখন z=1+ln⁡1=1z = 1 + \ln 1 = 1
যখন x=e2x = e^2, তখন z=1+ln⁡(e2)=1+2=3z = 1 + \ln(e^2) = 1 + 2 = 3

∴I=∫13dzz2=[−1z]13=−13−(−11)=1−13=23\therefore I = \int_{1}^{3} \frac{dz}{z^2} = \left[ -\frac{1}{z} \right]_{1}^{3} = -\frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{1}\right) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

(b)
প্রদত্ত যোগজ:
I=∫dxx(x4−1)I = \int \frac{dx}{x(x^4 - 1)}
লব ও হরকে x3x^3 দ্বারা গুণ করে পাই,
I=∫x3 dxx4(x4−1)I = \int \frac{x^3 \, dx}{x^4(x^4 - 1)}
ধরি, x4=ux^4 = u
∴4x3 dx=du  ⟹  x3 dx=du4\therefore 4x^3 \, dx = du \implies x^3 \, dx = \frac{du}{4}
যোগজটিতে মান বসিয়ে পাই,
I=14∫duu(u−1)=14∫(1u−1−1u)duI = \frac{1}{4} \int \frac{du}{u(u - 1)} = \frac{1}{4} \int \left( \frac{1}{u - 1} - \frac{1}{u} \right) du
=14[ln⁡∣u−1∣−ln⁡∣u∣]+c= \frac{1}{4} \left[ \ln|u - 1| - \ln|u| \right] + c
=14ln⁡∣u−1u∣+c= \frac{1}{4} \ln\left|\frac{u - 1}{u}\right| + c
u=x4u = x^4 বসিয়ে পাই,
=14ln⁡∣x4−1x4∣+c= \frac{1}{4} \ln\left|\frac{x^4 - 1}{x^4}\right| + c
(যেখানে cc একটি সমাকলন ধ্রুবক)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন