উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Dhaka Board • ঢাকা বোর্ড ২০২১

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

f(x)=cos⁡x;h(x)=tan⁡−1x. f(x) = \cos x; h(x) = \tan^{-1} x.

  1. ক)

    প্রমাণ কর: cot⁡−1(tan⁡2ϕ)+cot⁡−1(−tan⁡3ϕ)=ϕ \cot^{-1}(\tan 2\phi) + \cot^{-1}(-\tan 3\phi) = \phi

    (2)
  2. খ)

    উদ্দীপকের আলোকে সমাধান কর: (2+3)f(2θ)=1−f(π2−2θ) (2 + \sqrt{3}) f(2\theta) = 1 - f\left(\frac{\pi}{2} - 2\theta\right)

    (4)
  3. গ)

    প্রমাণ কর যে, 2h(a−ba+btan⁡θ2)=cos⁡−1b+af(θ)a+bf(θ) 2h\left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}} \tan \frac{\theta}{2}\right) = \cos^{-1} \frac{b + af(\theta)}{a + bf(\theta)}

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    বামপক্ষ =cot⁡−1(tan⁡2ϕ)+cot⁡−1(−tan⁡3ϕ)= \cot^{-1}(\tan 2\phi) + \cot^{-1}(-\tan 3\phi)
    আমরা জানি, cot⁡−1(−x)=π−cot⁡−1x\cot^{-1}(-x) = \pi - \cot^{-1} x
    এবং cot⁡−1(tan⁡A)=cot⁡−1(cot⁡(π2−A))=π2−A\cot^{-1}(\tan A) = \cot^{-1}\left(\cot\left(\frac{\pi}{2} - A\right)\right) = \frac{\pi}{2} - A

    অতএব,
    cot⁡−1(tan⁡2ϕ)=π2−2ϕ\cot^{-1}(\tan 2\phi) = \frac{\pi}{2} - 2\phi
    এবং cot⁡−1(−tan⁡3ϕ)=π−cot⁡−1(tan⁡3ϕ)=π−(π2−3ϕ)=π2+3ϕ\cot^{-1}(-\tan 3\phi) = \pi - \cot^{-1}(\tan 3\phi) = \pi - \left(\frac{\pi}{2} - 3\phi\right) = \frac{\pi}{2} + 3\phi

    বিকল্প মুখ্য মান বিবেচনায়:
    cot⁡−1(−tan⁡3ϕ)=−(π2−3ϕ)=−π2+3ϕ\cot^{-1}(-\tan 3\phi) = -\left(\frac{\pi}{2} - 3\phi\right) = -\frac{\pi}{2} + 3\phi

    সুতরাং,
    বামপক্ষ =(π2−2ϕ)+(−π2+3ϕ)= \left(\frac{\pi}{2} - 2\phi\right) + \left(-\frac{\pi}{2} + 3\phi\right)
    =π2−2ϕ−π2+3ϕ=ϕ=ডানপক্ষ= \frac{\pi}{2} - 2\phi - \frac{\pi}{2} + 3\phi = \phi = \text{ডানপক্ষ} (প্রমাণিত)।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, f(x)=cos⁡xf(x) = \cos x
    তাহলে, f(2θ)=cos⁡2θf(2\theta) = \cos 2\theta এবং f(π2−2θ)=cos⁡(π2−2θ)=sin⁡2θf\left(\frac{\pi}{2} - 2\theta\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2\theta\right) = \sin 2\theta

    প্রদত্ত সমীকরণ:
    (2+3)f(2θ)=1−f(π2−2θ)(2 + \sqrt{3}) f(2\theta) = 1 - f\left(\frac{\pi}{2} - 2\theta\right)
      ⟹  (2+3)cos⁡2θ=1−sin⁡2θ\implies (2 + \sqrt{3})\cos 2\theta = 1 - \sin 2\theta
      ⟹  sin⁡2θ+(2+3)cos⁡2θ=1\implies \sin 2\theta + (2 + \sqrt{3})\cos 2\theta = 1

    আমরা জানি, tan⁡75∘=2+3=sin⁡5π12cos⁡5π12\tan 75^\circ = 2 + \sqrt{3} = \frac{\sin \frac{5\pi}{12}}{\cos \frac{5\pi}{12}}
      ⟹  sin⁡2θ+sin⁡5π12cos⁡5π12cos⁡2θ=1\implies \sin 2\theta + \frac{\sin \frac{5\pi}{12}}{\cos \frac{5\pi}{12}}\cos 2\theta = 1
      ⟹  sin⁡2θcos⁡5π12+cos⁡2θsin⁡5π12=cos⁡5π12\implies \sin 2\theta \cos \frac{5\pi}{12} + \cos 2\theta \sin \frac{5\pi}{12} = \cos \frac{5\pi}{12}
      ⟹  sin⁡(2θ+5π12)=sin⁡(π2−5π12)=sin⁡π12\implies \sin\left(2\theta + \frac{5\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{12}\right) = \sin\frac{\pi}{12}

      ⟹  2θ+5π12=nπ+(−1)nπ12\implies 2\theta + \frac{5\pi}{12} = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{12}
      ⟹  2θ=nπ+(−1)nπ12−5π12\implies 2\theta = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{12} - \frac{5\pi}{12}
      ⟹  θ=nπ2+(−1)nπ24−5π24\implies \theta = \frac{n\pi}{2} + (-1)^n \frac{\pi}{24} - \frac{5\pi}{24}, যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z}।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, f(x)=cos⁡xf(x) = \cos x এবং h(x)=tan⁡−1xh(x) = \tan^{-1} x

    বামপক্ষ =2h(a−ba+btan⁡θ2)=2tan⁡−1(a−ba+btan⁡θ2)= 2h\left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}} \tan \frac{\theta}{2}\right) = 2\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}} \tan \frac{\theta}{2}\right)

    আমরা জানি, 2tan⁡−1x=cos⁡−1(1−x21+x2)2\tan^{-1} x = \cos^{-1}\left(\frac{1 - x^2}{1 + x^2}\right)

    এখানে x=a−ba+btan⁡θ2x = \sqrt{\frac{a-b}{a+b}} \tan \frac{\theta}{2} বসিয়ে পাই,
    =cos⁡−1(1−a−ba+btan⁡2θ21+a−ba+btan⁡2θ2)= \cos^{-1}\left(\frac{1 - \frac{a-b}{a+b} \tan^2 \frac{\theta}{2}}{1 + \frac{a-b}{a+b} \tan^2 \frac{\theta}{2}}\right)
    =cos⁡−1((a+b)−(a−b)tan⁡2θ2(a+b)+(a−b)tan⁡2θ2)= \cos^{-1}\left(\frac{(a+b) - (a-b)\tan^2 \frac{\theta}{2}}{(a+b) + (a-b)\tan^2 \frac{\theta}{2}}\right)
    =cos⁡−1(a(1−tan⁡2θ2)+b(1+tan⁡2θ2)a(1+tan⁡2θ2)+b(1−tan⁡2θ2))= \cos^{-1}\left(\frac{a\left(1 - \tan^2 \frac{\theta}{2}\right) + b\left(1 + \tan^2 \frac{\theta}{2}\right)}{a\left(1 + \tan^2 \frac{\theta}{2}\right) + b\left(1 - \tan^2 \frac{\theta}{2}\right)}\right)

    লব ও হরকে (1+tan⁡2θ2)\left(1 + \tan^2 \frac{\theta}{2}\right) দ্বারা ভাগ করে পাই,
    =cos⁡−1(a⋅1−tan⁡2θ21+tan⁡2θ2+ba+b⋅1−tan⁡2θ21+tan⁡2θ2)= \cos^{-1}\left(\frac{a \cdot \frac{1 - \tan^2 \frac{\theta}{2}}{1 + \tan^2 \frac{\theta}{2}} + b}{a + b \cdot \frac{1 - \tan^2 \frac{\theta}{2}}{1 + \tan^2 \frac{\theta}{2}}}\right)

    যেহেতু cos⁡θ=1−tan⁡2θ21+tan⁡2θ2\cos \theta = \frac{1 - \tan^2 \frac{\theta}{2}}{1 + \tan^2 \frac{\theta}{2}} এবং f(θ)=cos⁡θf(\theta) = \cos \theta:
    =cos⁡−1(acos⁡θ+ba+bcos⁡θ)= \cos^{-1}\left(\frac{a \cos \theta + b}{a + b \cos \theta}\right)
    =cos⁡−1(b+af(θ)a+bf(θ))=ডানপক্ষ= \cos^{-1}\left(\frac{b + af(\theta)}{a + bf(\theta)}\right) = \text{ডানপক্ষ} (প্রমাণিত)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন