উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত অধিবৃত্ত: $25x^2 - 16y^2 = 400$
   বা, $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{25} = 1 \implies \frac{x^2}{4^2} - \frac{y^2}{5^2} = 1$
   এখানে $a = 4, b = 5$।
   উৎকেন্দ্রিকতা, $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{25}{16}} = \frac{\sqrt{41}}{4}$
   উপকেন্দ্রের স্থানাংক $= (\pm ae, 0) = \left(\pm 4 \cdot \frac{\sqrt{41}}{4}, 0\right) = (\pm \sqrt{41}, 0)$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উপকেন্দ্র $S(3, -1)$, দিকাক্ষের সমীকরণ $x - 7 = 0$ এবং $e = \frac{1}{\sqrt{5}}$।
   কণিকের ওপর যেকোনো বিন্দু $P(x, y)$ হলে,
   $SP^2 = e^2 \cdot PM^2$
   $\implies (x - 3)^2 + (y + 1)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 (x - 7)^2$
   $\implies 5(x^2 - 6x + 9 + y^2 + 2y + 1) = x^2 - 14x + 49$
   $\implies 5x^2 + 5y^2 - 30x + 10y + 50 = x^2 - 14x + 49$
   $\implies 4x^2 + 5y^2 - 16x + 10y + 1 = 0$, যা নির্ণেয় কণিকের সমীকরণ।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত কণিক: $4x^2 - 9y^2 - 16x + 18y - 29 = 0$
   $\implies 4(x^2 - 4x + 4) - 9(y^2 - 2y + 1) = 29 + 16 - 9$
   $\implies 4(x - 2)^2 - 9(y - 1)^2 = 36$
   $\implies \frac{(x - 2)^2}{3^2} - \frac{(y - 1)^2}{2^2} = 1$, যা একটি অধিবৃত্ত (Hyperbola)।
   সুতরাং, কণিকটির প্রকৃতি অধিবৃত্ত।

   অসীমতটের সমীকরণ:
   $\frac{(x - 2)^2}{9} - \frac{(y - 1)^2}{4} = 0$
   $\implies \frac{x - 2}{3} \pm \frac{y - 1}{2} = 0$
   $\implies 2(x - 2) \pm 3(y - 1) = 0$

   (+) নিয়ে পাই: $2x + 3y - 7 = 0$
   (-) নিয়ে পাই: $2x - 3y - 1 = 0$
   অতএব, অসীমতটদ্বয়ের সমীকরণ $2x + 3y - 7 = 0$ এবং $2x - 3y - 1 = 0$।