∫2x21−x2dx=?\int \frac{2x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx = ?

Question

Accepted Answer

ক. sin⁡−1x−x1−x2+c\sin^{-1} x - x\sqrt{1 - x^2} + c

ব্যাখ্যা: সমাধান:
প্রদত্ত যোগজটি হলো:
$$I = \int \frac{2x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$$

ধরি, $x = \sin	heta$
তাহলে, $dx = \cos	heta \, d	heta$

মান বসিয়ে পাই:
$$I = \int \frac{2\sin^2	heta}{\sqrt{1-\sin^2	heta}} \cdot \cos	heta \, d	heta$$
$$= \int \frac{2\sin^2	heta}{\cos	heta} \cdot \cos	heta \, d	heta$$
$$= \int 2\sin^2	heta \, d	heta$$
$$= \int (1 - \cos 2	heta) \, d	heta$$
$$= 	heta - \frac{\sin 2	heta}{2} + c$$
$$= 	heta - \frac{2\sin	heta\cos	heta}{2} + c$$
$$= 	heta - \sin	heta\cos	heta + c$$

যেহেতু $x = \sin	heta$, তাই $	heta = \sin^{-1}x$ এবং $\cos	heta = \sqrt{1-x^2}$।
মানগুলো প্রতিস্থাপন করলে পাওয়া যায়:
$$I = \sin^{-1}x - x\sqrt{1-x^2} + c$$

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো অপশন 1।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন