গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, টাওয়ারের উচ্চতা $h$ এবং বস্তুটি ভূমি স্পর্শ করতে মোট $t$ সেকেন্ড সময় নেয়।
আদিবেগ $u = 0$ নিয়ে মুক্তভাবে পড়লে,
$h = \frac{1}{2}gt^2 \quad \text{--- (1)}$

শেষতম অর্থাৎ $t$-তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব,
$h_t = 0 + \frac{1}{2}g(2t - 1) = \frac{1}{2}g(2t - 1)$

প্রশ্নমতে,
$h_t = \frac{4}{9}h$
$\implies \frac{1}{2}g(2t - 1) = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2}gt^2$
$\implies 2t - 1 = \frac{4}{9}t^2$
$\implies 4t^2 - 18t + 9 = 0$

দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করে পাই:
$t = \frac{-(-18) \pm \sqrt{(-18)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$
$t = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 144}}{8} = \frac{18 \pm \sqrt{180}}{8} = \frac{9 \pm 3\sqrt{5}}{4}$

যেহেতু পতনকাল শেষতম সেকেন্ডের চেয়ে বেশি অর্থাৎ $t > 1$ হতে হবে, তাই
$t = \frac{9 + 3\sqrt{5}}{4} \approx 3.927 \text{ s} \quad \left[\because \frac{9 - 3\sqrt{5}}{4} \approx 0.573 < 1\right]$

এখন (1) নং সমীকরণ হতে পাই,
$h = \frac{1}{2} \times 9.8 \times (3.927)^2 \approx 75.56 \text{ m}$

উত্তর: টাওয়ারের উচ্চতা প্রায় $75.56$ মিটার (বা $\frac{9.8}{2} \left(\frac{9+3\sqrt{5}}{4}\right)^2$ মিটার)।