গণিত • MIST • মিলিটারি ইনস্টিটিউট অব সায়েন্স অ্যান্ড টেকনোলজি ভর্তি পরীক্ষা ২০২৪-২০২৫

গণিত প্রশ্ন

17.

4(sin⁡2θ+cos⁡θ)=54(\sin^2\theta + \cos\theta) = 5, where −2π<θ<2π-2\pi < \theta < 2\pi.

উত্তর ও ব্যাখ্যা

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

Given equation:
4(sin⁡2θ+cos⁡θ)=54(\sin^2\theta + \cos\theta) = 5
4(1−cos⁡2θ+cos⁡θ)=54(1 - \cos^2\theta + \cos\theta) = 5
4−4cos⁡2θ+4cos⁡θ=54 - 4\cos^2\theta + 4\cos\theta = 5
4cos⁡2θ−4cos⁡θ+1=04\cos^2\theta - 4\cos\theta + 1 = 0
(2cos⁡θ−1)2=0(2\cos\theta - 1)^2 = 0
cos⁡θ=12\cos\theta = \frac{1}{2}

Given the domain −2π<θ<2π-2\pi < \theta < 2\pi:
θ=2nπ±π3,n∈Z\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}

For n=0n = 0:
θ=π3,−π3\theta = \frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}
For n=1n = 1:
θ=2π−π3=5π3\theta = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}
For n=−1n = -1:
θ=−2π+π3=−5π3\theta = -2\pi + \frac{\pi}{3} = -\frac{5\pi}{3}

Thus, the solutions in the interval (−2π,2π)(-2\pi, 2\pi) are:
θ=±π3,±5π3\theta = \pm \frac{\pi}{3}, \pm \frac{5\pi}{3}

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন