উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম (Linear Programming) হলো একটি গাণিতিক পদ্ধতি, যার মাধ্যমে কতগুলো একঘাত (linear) সীমাবদ্ধতা বা শর্তের অধীনে একটি নির্দিষ্ট উদ্দেশ্যমূলক অপেক্ষকের (Objective function) সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করা হয়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, দৈনিক খাদ্যে A ধরনের খাদ্য $x$ একক এবং B ধরনের খাদ্য $y$ একক প্রয়োজন।
   এখানে খরচ সর্বনিম্ন করতে হবে। সুতরাং উদ্দেশ্যমূলক অপেক্ষক:
   সর্বনিম্ন $Z = 40x + 50y$

   শর্ত বা সীমাবদ্ধতাসমূহ:
   প্রোটিনের শর্তানুযায়ী: $4x + 6y \ge 16$ বা, $2x + 3y \ge 8$
   শ্বেতসারের শর্তানুযায়ী: $5x + 3y \ge 11$
   অঋণাত্মক শর্ত: $x \ge 0, y \ge 0$

   অতএব, নির্ণেয় যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম:
   সর্বনিম্নকরণ: $Z = 40x + 50y$
   শর্তাধীনে:
   $2x + 3y \ge 8$
   $5x + 3y \ge 11$
   এবং $x, y \ge 0$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   অসমতাগুলোকে সমীকরণে রূপান্তর করে পাই:
   (১) $2x + 3y = 8 \Rightarrow \frac{x}{4} + \frac{y}{8/3} = 1$
   (২) $5x + 3y = 11 \Rightarrow \frac{x}{11/5} + \frac{y}{11/3} = 1$
   (৩) $x = 0$ ($y$-অক্ষ) এবং $y = 0$ ($x$-অক্ষ)

   (১) ও (২) নং সমীকরণের ছেদবিন্দু নির্ণয়:
   (২) হতে (১) বিয়োগ করে পাই:
   $3x = 3 \Rightarrow x = 1$
   $x = 1$ হলে, $2(1) + 3y = 8 \Rightarrow 3y = 6 \Rightarrow y = 2$
   সুতরাং ছেদবিন্দু $B(1, 2)$।

   লেখচিত্রে সীমাবদ্ধ অসমতাগুলোর দিক বিবেচনা করে উন্মুক্ত সমাধান অঞ্চলের শীর্ষবিন্দুগুলো পাওয়া যায়:
   $A(4, 0)$
   $B(1, 2)$
   $C(0, 11/3)$

   শীর্ষবিন্দুগুলোতে $Z = 40x + 50y$-এর মান নির্ণয়:
   $A(4, 0)$ বিন্দুতে, $Z = 40(4) + 50(0) = 160$
   $B(1, 2)$ বিন্দুতে, $Z = 40(1) + 50(2) = 40 + 100 = 140$
   $C(0, 11/3)$ বিন্দুতে, $Z = 40(0) + 50(11/3) = \frac{550}{3} \approx 183.33$

   যেহেতু অঞ্চলটি মুক্ত (unbounded), তাই $40x + 50y < 140$ বা $4x + 5y < 14$ রেখাটির কোনো সাধারণ বিন্দু সমাধান অঞ্চলের সাথে নেই।
   সুতরাং, $x = 1$ এবং $y = 2$ হলে সর্বনিম্ন খরচ হবে 140 টাকা।