Let P, Q, R and S be the points on the plane with position vector −2i^−j^,4i^,3i^+3j^and−3i^+2j^ - 2 \hat{i} - \hat{j} , 4 \hat{i} , 3 \hat{i} + 3 \hat{j} \quad ext{and}\quad - 3 \hat{i} + 2 \hat{j} respectively. The quadrilateral PQRS must be a-

Question

Let P, Q, R and S be the points on the plane with position vector  −2i^−j^,4i^,3i^+3j^and−3i^+2j^ - 2 \hat{i} - \hat{j} , 4 \hat{i} , 3 \hat{i} + 3 \hat{j} \quad	ext{and}\quad - 3 \hat{i} + 2 \hat{j}  respectively. The quadrilateral PQRS must be a-

Accepted Answer

ক. Parallelogram, which is neither a rhombus nor a rectangle

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত শীর্ষবিন্দুগুলোর অবস্থান ভেক্টর হলো:
$P = (-2, -1)$, $Q = (4, 0)$, $R = (3, 3)$, $S = (-3, 2)$

বাহুগুলোর ভেক্টর নির্ণয় করি:
$\vec{PQ} = (4 - (-2))\hat{i} + (0 - (-1))\hat{j} = 6\hat{i} + \hat{j}$
$\vec{SR} = (3 - (-3))\hat{i} + (3 - 2)\hat{j} = 6\hat{i} + \hat{j}$
যেহেতু $\vec{PQ} = \vec{SR}$, তাই বিপরীত বাহু দুটি সমান ও সমান্তরাল। সুতরাং $PQRS$ একটি সামান্তরিক (parallelogram)।

এখন সন্নিহিত বাহু $\vec{PS}$ নির্ণয় করি:
$\vec{PS} = (-3 - (-2))\hat{i} + (2 - (-1))\hat{j} = -\hat{i} + 3\hat{j}$

বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য:
$|\vec{PQ}| = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37}$
$|\vec{PS}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{10}$
যেহেতু $|\vec{PQ}| 
eq |\vec{PS}|$, তাই এটি রম্বস বা বর্গ হতে পারে না।

আবার, $\vec{PQ} \cdot \vec{PS} = (6)(-1) + (1)(3) = -3 
eq 0$, অর্থাৎ বাহুদ্বয় পরস্পর লম্ব নয়। সুতরাং এটি আয়তক্ষেত্রও নয়।
অতএব, $PQRS$ একটি সামান্তরিক যা রম্বস বা আয়তক্ষেত্র কোনোটিই নয়।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন