উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সীমা:
   $\lim_{x \to b} \frac{x^{\frac{9}{2}} - b^{\frac{9}{2}}}{\sqrt{x} - \sqrt{b}}$

   ধরি, $\sqrt{x} = u$ এবং $\sqrt{b} = a$।
   যখন $x \to b$, তখন $u \to a$।

   অতএব,
   $\lim_{u \to a} \frac{(u^2)^{\frac{9}{2}} - (a^2)^{\frac{9}{2}}}{u - a} = \lim_{u \to a} \frac{u^9 - a^9}{u - a}$

   আমরা জানি, $\lim_{u \to a} \frac{u^n - a^n}{u - a} = n a^{n-1}$
   এখানে $n = 9$।

   সুতরাং,
   $= 9 \cdot a^{9-1} = 9 a^8$

   যেহেতু $a = \sqrt{b} = b^{\frac{1}{2}}$,
   $= 9 (b^{\frac{1}{2}})^8 = 9 b^4$

   উত্তর: $9b^4$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $y = f(x) = \sin(2\sin^{-1}x)$

   $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $y_1 = \cos(2\sin^{-1}x) \cdot \frac{d}{dx}(2\sin^{-1}x)$
   $\implies y_1 = \cos(2\sin^{-1}x) \cdot \frac{2}{\sqrt{1-x^2}}$
   $\implies \sqrt{1-x^2} y_1 = 2\cos(2\sin^{-1}x)$

   উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
   $(1-x^2) y_1^2 = 4\cos^2(2\sin^{-1}x)$
   $\implies (1-x^2) y_1^2 = 4[1 - \sin^2(2\sin^{-1}x)]$
   $\implies (1-x^2) y_1^2 = 4(1 - y^2) = 4 - 4y^2$

   পুনরায় $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $(1-x^2) \cdot 2y_1 y_2 + y_1^2 (-2x) = 0 - 8y y_1$
   $\implies 2y_1 [(1-x^2)y_2 - xy_1] = -8y y_1$

   উভয়পক্ষকে $2y_1$ দ্বারা ভাগ করে পাই ($y_1 \neq 0$):
   $(1-x^2)y_2 - xy_1 = -4y$
   $\implies (1-x^2)y_2 - xy_1 + 4y = 0$ (প্রমাণিত)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $g(x) = 2x^3 - 7x^2 + 4x + 5$

   প্রথম ও দ্বিতীয় অন্তরজ নির্ণয় করি:
   $g'(x) = 6x^2 - 14x + 4$
   $g''(x) = 12x - 14$

   ফাংশনের চরম মানের (লঘুমান বা গুরুমান) জন্য $g'(x) = 0$ হবে:
   $6x^2 - 14x + 4 = 0$
   $\implies 3x^2 - 7x + 2 = 0$
   $\implies 3x^2 - 6x - x + 2 = 0$
   $\implies 3x(x - 2) - 1(x - 2) = 0$
   $\implies (x - 2)(3x - 1) = 0$
   $\implies x = 2$ অথবা $x = \frac{1}{3}$

   এখন চরম মানের প্রকৃতি নির্ণয় করি:
   ১) $x = 2$ হলে,
   $g''(2) = 12(2) - 14 = 24 - 14 = 10 > 0$
   যেহেতু $g''(2) > 0$, সুতরাং $x = 2$ বিন্দুতে লঘুমান বিদ্যমান।
   $\therefore$ লঘুমান $= g(2) = 2(2)^3 - 7(2)^2 + 4(2) + 5 = 16 - 28 + 8 + 5 = 1$

   ২) $x = \frac{1}{3}$ হলে,
   $g''\left(\frac{1}{3}\right) = 12\left(\frac{1}{3}\right) - 14 = 4 - 14 = -10 < 0$
   যেহেতু $g''\left(\frac{1}{3}\right) < 0$, সুতরাং $x = \frac{1}{3}$ বিন্দুতে গুরুমান বিদ্যমান।
   $\therefore$ গুরুমান $= g\left(\frac{1}{3}\right) = 2\left(\frac{1}{3}\right)^3 - 7\left(\frac{1}{3}\right)^2 + 4\left(\frac{1}{3}\right) + 5$
   $= 2\left(\frac{1}{27}\right) - 7\left(\frac{1}{9}\right) + \frac{4}{3} + 5$
   $= \frac{2}{27} - \frac{21}{27} + \frac{36}{27} + \frac{135}{27} = \frac{2 - 21 + 36 + 135}{27} = \frac{152}{27} = 5\frac{17}{27}$

   উত্তর: লঘুমান $1$ এবং গুরুমান $\frac{152}{27}$