গণিত প্রশ্ন

AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

স্পষ্ট অনুমান: প্রশ্নে উল্লেখিত 'SN' মানটি মূলত OCR স্ক্যানিং ত্রুটির কারণে '5N' হতে পারে, অথবা এটি প্রতীকী মান 'S N'। | বল তিনটি সমবাহু ত্রিভুজটির বাহুত্রয়ের ক্রম অনুসারে (একই ঘূর্ণন অভিমুখে) সমান্তরালভাবে ক্রিয়াশীল, ফলে তাদের প্রত্যেকের মধ্যবর্তী কোণ ১২০°।

ধরি, বল তিনটি একটি বিন্দুতে সমবাহু ত্রিভুজের $\vec{AB}$, $\vec{BC}$ এবং $\vec{CA}$ বাহুর সমান্তরালে একই ক্রমে ক্রিয়াশীল।

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুগুলোর মধ্যবর্তী বহিঃস্থ কোণ $120^\circ$ হওয়ায় সমবিন্দু বল তিনটির মধ্যবর্তী কোণগুলোও $120^\circ$ হবে।

বলগুলোর মান:
$P = 3\text{ N}$ ($0^\circ$ কোণে)
$Q = 2\text{ N}$ ($120^\circ$ কোণে)
$F_3 = S\text{ N}$ বা $5\text{ N}$ ($240^\circ$ কোণে)

$X$-অক্ষ বরাবর উপাংশের যোগফল:
$R_x = 3\cos 0^\circ + 2\cos 120^\circ + F_3\cos 240^\circ$
$R_x = 3(1) + 2\left(-\frac{1}{2}\right) + F_3\left(-\frac{1}{2}\right) = 3 - 1 - \frac{F_3}{2} = 2 - \frac{F_3}{2} = \frac{4 - F_3}{2}$

$Y$-অক্ষ বরাবর উপাংশের যোগফল:
$R_y = 3\sin 0^\circ + 2\sin 120^\circ + F_3\sin 240^\circ$
$R_y = 0 + 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + F_3\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}(2 - F_3)}{2}$

লব্ধির মান $R$:
$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{\frac{(4 - F_3)^2 + 3(2 - F_3)^2}{4}}$
$R = \sqrt{\frac{16 - 8F_3 + F_3^2 + 12 - 12F_3 + 3F_3^2}{4}} = \sqrt{F_3^2 - 5F_3 + 7}$

১. যদি প্রশ্নে 'SN' বলতে $5\text{ N}$ বোঝানো হয়ে থাকে ($F_3 = 5\text{ N}$):
$R = \sqrt{5^2 - 5(5) + 7} = \sqrt{25 - 25 + 7} = \sqrt{7}\text{ N} \approx 2.65\text{ N}$

২. যদি 'SN' একটি প্রতীকী মান $S\text{ N}$ হয়, তবে লব্ধি:
$R = \sqrt{S^2 - 5S + 7}\text{ N}$