উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{bmatrix}$

   আমরা জানি, কোনো বর্গাকার ম্যাট্রিক্স $A$ এর জন্য $A^2 = A$ হলে $A$-কে সমঘাতি (Idempotent) ম্যাট্রিক্স বলা হয়।

   এখন,
   $A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{bmatrix}$
   $= \begin{bmatrix} 2(2) + 1(-2) & 2(1) + 1(-1) \\ -2(2) + (-1)(-2) & -2(1) + (-1)(-1) \end{bmatrix}$
   $= \begin{bmatrix} 4 - 2 & 2 - 1 \\ -4 + 2 & -2 + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{bmatrix} = A$

   যেহেতু $A^2 = A$, সুতরাং $A$ একটি সমঘাতি ম্যাট্রিক্স। (দেখানো হলো)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ হতে সমীকরণগুলো হলো:

   1. $\frac{x}{5} + \frac{3y}{10} + \frac{z}{10} = 1 \implies 2x + 3y + z = 10$
   2. $\frac{x}{4} + \frac{y}{4} = 1 \implies x + y + 0\cdot z = 4$
   3. $\frac{3y}{7} + \frac{4z}{7} = 1 \implies 0\cdot x + 3y + 4z = 7$

   ক্রেমারের নিয়ম প্রয়োগের জন্য নির্ণায়কসমূহ গঠন করি:
   $D = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 4 \end{vmatrix}$
   $= 2(4 - 0) - 3(4 - 0) + 1(3 - 0) = 8 - 12 + 3 = -1 \neq 0$

   $D_x = \begin{vmatrix} 10 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & 0 \\ 7 & 3 & 4 \end{vmatrix}$
   $= 10(4 - 0) - 3(16 - 0) + 1(12 - 7) = 40 - 48 + 5 = -3$

   $D_y = \begin{vmatrix} 2 & 10 & 1 \\ 1 & 4 & 0 \\ 0 & 7 & 4 \end{vmatrix}$
   $= 2(16 - 0) - 10(4 - 0) + 1(7 - 0) = 32 - 40 + 7 = -1$

   $D_z = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 10 \\ 1 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & 7 \end{vmatrix}$
   $= 2(7 - 12) - 3(7 - 0) + 10(3 - 0) = 2(-5) - 21 + 30 = -10 - 21 + 30 = -1$

   অতএব,
   $x = \frac{D_x}{D} = \frac{-3}{-1} = 3$
   $y = \frac{D_y}{D} = \frac{-1}{-1} = 1$
   $z = \frac{D_z}{D} = \frac{-1}{-1} = 1$

   নির্ণেয় সমাধান: $(x, y, z) = (3, 1, 1)$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $s = x + y + z$
   নির্ণায়ক,
   $\Delta = \begin{vmatrix} (s-x)^2 & x^2 & x^2 \\ y^2 & (s-y)^2 & y^2 \\ z^2 & z^2 & (s-z)^2 \end{vmatrix}$

   এখানে, $s - x = y + z$, $s - y = z + x$, $s - z = x + y$।
   অতএব,
   $\Delta = \begin{vmatrix} (y+z)^2 & x^2 & x^2 \\ y^2 & (z+x)^2 & y^2 \\ z^2 & z^2 & (x+y)^2 \end{vmatrix}$

   কলাম রূপান্তর প্রয়োগ করি: $C_1' = C_1 - C_3$ এবং $C_2' = C_2 - C_3$:
   $\Delta = \begin{vmatrix} (y+z)^2 - x^2 & 0 & x^2 \\ 0 & (z+x)^2 - y^2 & y^2 \\ z^2 - (x+y)^2 & z^2 - (x+y)^2 & (x+y)^2 \end{vmatrix}$

   যেহেতু,
   $(y+z)^2 - x^2 = (y+z+x)(y+z-x) = s(y+z-x)$
   $(z+x)^2 - y^2 = (z+x+y)(z+x-y) = s(z+x-y)$
   $z^2 - (x+y)^2 = (z+x+y)(z-x-y) = s(z-x-y)$

   ১ম ও ২য় কলাম থেকে $s$ সাধারণ নিলে পাই:
   $\Delta = s^2 \begin{vmatrix} y+z-x & 0 & x^2 \\ 0 & z+x-y & y^2 \\ z-x-y & z-x-y & (x+y)^2 \end{vmatrix}$

   সারি রূপান্তর প্রয়োগ করি: $R_3' = R_3 - R_1 - R_2$:
   $R_3$ এর উপাদানগুলি হবে:
   ১ম উপাদান: $(z-x-y) - (y+z-x) - 0 = -2y$
   ২য় উপাদান: $(z-x-y) - 0 - (z+x-y) = -2x$
   ৩য় উপাদান: $(x+y)^2 - x^2 - y^2 = 2xy$

   অতএব,
   $\Delta = s^2 \begin{vmatrix} y+z-x & 0 & x^2 \\ 0 & z+x-y & y^2 \\ -2y & -2x & 2xy \end{vmatrix}$

   এখন $C_1' = C_1 + \frac{1}{x} C_3$ এবং $C_2' = C_2 + \frac{1}{y} C_3$ প্রয়োগ করি:
   ১ম কলাম: $\begin{pmatrix} y+z-x + x \\ 0 + \frac{y^2}{x} \\ -2y + 2y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y+z \\ \frac{y^2}{x} \\ 0 \end{pmatrix}$
   ২য় কলাম: $\begin{pmatrix} 0 + \frac{x^2}{y} \\ z+x-y + y \\ -2x + 2x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{x^2}{y} \\ z+x \\ 0 \end{pmatrix}$

   সুতরাং,
   $\Delta = s^2 \begin{vmatrix} y+z & \frac{x^2}{y} & x^2 \\ \frac{y^2}{x} & z+x & y^2 \\ 0 & 0 & 2xy \end{vmatrix}$

   ৩য় সারির সাপেক্ষে বিস্তার করে পাই:
   $\Delta = s^2 \cdot 2xy \left[ (y+z)(z+x) - \frac{x^2}{y} \cdot \frac{y^2}{x} \right]$
   $= 2xy s^2 [ yz + xy + z^2 + zx - xy ]$
   $= 2xy s^2 [ z^2 + yz + zx ] = 2xy s^2 \cdot z(z + y + x) = 2xyz s^2 (s) = 2xyz s^3$

   $\therefore \Delta = 2xyzs^3$ (প্রমাণিত)।