উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সীমা:
   $\lim_{x \to a} \frac{x^{\frac{3}{2}} - a^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x} - \sqrt{a}}$
   $= \lim_{x \to a} \frac{(\sqrt{x})^3 - (\sqrt{a})^3}{\sqrt{x} - \sqrt{a}}$
   $= \lim_{x \to a} \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{a})[(\sqrt{x})^2 + \sqrt{x}\sqrt{a} + (\sqrt{a})^2]}{\sqrt{x} - \sqrt{a}}$
   $= \lim_{x \to a} (x + \sqrt{ax} + a) \quad [\because x \to a \implies \sqrt{x} - \sqrt{a} \neq 0]$
   $= a + \sqrt{a \cdot a} + a = 3a$

   উত্তর: $3a$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = a^{5x}$
   $\therefore f(x+h) = a^{5(x+h)} = a^{5x+5h}$

   লিমিটের সংজ্ঞাহতে পাই,
   $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{a^{5x+5h} - a^{5x}}{h}$
   $= a^{5x} \lim_{h \to 0} \frac{a^{5h} - 1}{h}$
   $= a^{5x} \lim_{h \to 0} \left( \frac{a^{5h} - 1}{5h} \cdot 5 \right)$
   $= 5a^{5x} \lim_{5h \to 0} \frac{a^{5h} - 1}{5h} \quad [\because h \to 0 \implies 5h \to 0]$
   $= 5a^{5x} \ln a \quad \left[\because \lim_{u \to 0} \frac{a^u - 1}{u} = \ln a \right]$

   উত্তর: $5a^{5x} \ln a$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $g(x) = 0 \implies \sqrt{\frac{x}{2a}} + \sqrt{\frac{y}{2a}} - 1 = 0 \implies \sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{2a} \quad \text{--- (i)}$

   ধরি, বক্ররেখার ওপর যেকোনো বিন্দু $P(x_1, y_1)$।
   $\therefore \sqrt{x_1} + \sqrt{y_1} = \sqrt{2a} \quad \text{--- (ii)}$

   (i) নং সমীকরণকে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}}\frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$

   $P(x_1, y_1)$ বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল, $m = -\frac{\sqrt{y_1}}{\sqrt{x_1}}$

   $P(x_1, y_1)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ:
   $y - y_1 = -\frac{\sqrt{y_1}}{\sqrt{x_1}}(x - x_1)$
   $\implies x\sqrt{y_1} + y\sqrt{x_1} = x_1\sqrt{y_1} + y_1\sqrt{x_1}$

   উভয়পক্ষকে $\sqrt{x_1 y_1}$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $\frac{x}{\sqrt{x_1}} + \frac{y}{\sqrt{y_1}} = \sqrt{x_1} + \sqrt{y_1}$
   $\implies \frac{x}{\sqrt{x_1}} + \frac{y}{\sqrt{y_1}} = \sqrt{2a} \quad [\text{(ii) হতে}]$
   $\implies \frac{x}{\sqrt{2a x_1}} + \frac{y}{\sqrt{2a y_1}} = 1$

   সুতরাং অক্ষদ্বয়ের খণ্ডিতাংশদ্বয় হলো $\sqrt{2a x_1}$ এবং $\sqrt{2a y_1}$।

   খণ্ডিতাংশদ্বয়ের যোগফল $= \sqrt{2a x_1} + \sqrt{2a y_1} = \sqrt{2a}(\sqrt{x_1} + \sqrt{y_1}) = \sqrt{2a} \cdot \sqrt{2a} = 2a$, যা একটি ধ্রুবক। (প্রমাণিত)