গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত সমীকরণসমূহ:
$y^2 = x \implies x = y^2$
$y = x - 2 \implies x = y + 2$
$x = 1$

$y^2 = x$ এবং $y = x - 2$ এর ছেদবিন্দু:
$y^2 = y + 2 \implies y^2 - y - 2 = 0 \implies (y - 2)(y + 1) = 0$
$\therefore y = -1, 2$

$x = 1$ রেখার সাথে ছেদবিন্দুসমূহ:
$y = x - 2$ এর জন্য: $y = 1 - 2 = -1$, বিন্দুটি $(1, -1)$
$y^2 = x$ এর জন্য: $y^2 = 1 \implies y = \pm 1$, বিন্দুদ্বয় $(1, 1)$ ও $(1, -1)$

সুতরাং আবদ্ধ ক্ষেত্রটি $y = -1$ থেকে $y = 2$ পর্যন্ত বিস্তৃত।
ক্ষেত্রফল,
$A = \int_{-1}^{1} ((y + 2) - 1)\,dy + \int_{1}^{2} ((y + 2) - y^2)\,dy$
$= \left[\frac{y^2}{2} + y\right]_{-1}^{1} + \left[\frac{y^2}{2} + 2y - \frac{y^3}{3}\right]_{1}^{2}$
$= \left\{\left(\frac{1}{2} + 1\right) - \left(\frac{1}{2} - 1\right)\right\} + \left\{\left(2 + 4 - \frac{8}{3}\right) - \left(\frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{3}\right)\right\}$
$= 2 + \left(\frac{10}{3} - \frac{13}{6}\right)$
$= 2 + \frac{7}{6} = \frac{19}{6}$ বর্গ একক।