পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যে বিচ্ছিন্ন দৈব চলকের মান কেবল অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা ($0, 1, 2, \dots, \infty$) হতে পারে এবং যার সম্ভাবনা অপেক্ষক পৈঁসু সূত্র মেনে চলে, তাকে পৈঁসু চলক বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   পৈঁসু চলকের সকল সম্ভাব্য মানের সম্ভাবনার সমষ্টি 1।

   ব্যাখ্যা:
   ধরি, $X$ একটি পৈঁসু চলক যার পরামিতি $m$ ($m > 0$)। এর সম্ভাবনা অপেক্ষক হলো:
   $P(X = x) = \frac{e^{-m} m^x}{x!}; \quad x = 0, 1, 2, \dots, \infty$

   এখন, সকল সম্ভাবনার সমষ্টি:
   $\sum_{x=0}^{\infty} P(X = x) = \sum_{x=0}^{\infty} \frac{e^{-m} m^x}{x!} = e^{-m} \sum_{x=0}^{\infty} \frac{m^x}{x!}$

   আমরা জানি, সূচকীয় ধারা অনুসারে $\sum_{x=0}^{\infty} \frac{m^x}{x!} = 1 + \frac{m}{1!} + \frac{m^2}{2!} + \dots = e^m$
   অতএব, $\sum_{x=0}^{\infty} P(X = x) = e^{-m} \times e^m = e^0 = 1$।
   সুতরাং, পৈঁসু চলকের সম্ভাবনা সমষ্টি সর্বদা ১ এর সমান।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, পৈঁসু বিন্যাসটির পরামিতি $m$।
   পৈঁসু বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক:
   $P(X = x) = \frac{e^{-m} m^x}{x!}; \quad x = 0, 1, 2, \dots, \infty$

   উদ্দীপক অনুসারে,
   $P(X = 4) = \frac{1}{4} P(X = 3)$
   $\Rightarrow \frac{e^{-m} m^4}{4!} = \frac{1}{4} \times \frac{e^{-m} m^3}{3!}$
   $\Rightarrow \frac{m^4}{24} = \frac{1}{4} \times \frac{m^3}{6}$
   $\Rightarrow \frac{m^4}{24} = \frac{m^3}{24}$
   যেহেতু $m > 0$, তাই উভয়পক্ষকে $m^3$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $m = 1$

   অতএব, নির্ণেয় সম্ভাবনা অপেক্ষকটি হলো:
   $P(X = x) = \frac{e^{-1} \cdot 1^x}{x!} = \frac{e^{-1}}{x!}; \quad x = 0, 1, 2, \dots, \infty$

   এখন, $P(X = 2)$ এর মান:
   $P(X = 2) = \frac{e^{-1} \cdot 1^2}{2!} = \frac{e^{-1}}{2} = \frac{1}{2e} \approx \frac{1}{2 \times 2.71828} \approx 0.1839$

   উত্তর: সম্ভাবনা অপেক্ষক $P(X=x) = \frac{e^{-1}}{x!}$ এবং $P(X = 2) \approx 0.1839$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ‘গ’ হতে পাই, পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি, $m = 1$

   বঙ্কিমতাঙ্ক নির্ণয়:
   পৈঁসু বিন্যাসের প্রথম বঙ্কিমতাঙ্ক,
   $\gamma_1 = \sqrt{\beta_1} = \frac{1}{\sqrt{m}} = \frac{1}{\sqrt{1}} = 1$

   সূঁচালতাঙ্ক নির্ণয়:
   পৈঁসু বিন্যাসের দ্বিতীয় সূঁচালতাঙ্ক (বা অতিরিক্ত সূঁচালতাঙ্ক),
   $\gamma_2 = \beta_2 - 3 = \frac{1}{m} = \frac{1}{1} = 1$
   বা, সূঁচালতাঙ্ক $\beta_2 = 3 + \frac{1}{m} = 3 + 1 = 4$

   বিন্যাসটির আকৃতি ও প্রকৃতি সম্পর্কে মন্তব্য:
   ১. আকৃতি (বঙ্কিমতা): যেহেতু $\gamma_1 > 0$ (অর্থাৎ $\gamma_1 = 1$), সেহেতু উদ্দীপকের পৈঁসু বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম (Positively Skewed)। এর ডানদিকের লেজটি তুলনামূলক দীর্ঘ।
   ২. প্রকৃতি (সূঁচালতা): যেহেতু $\beta_2 > 3$ (বা $\gamma_2 > 0$), সেহেতু বিন্যাসটি অতি-সূঁচালো (Leptokurtic)। অর্থাৎ সাধারণ পরিমিত বিন্যাসের শীর্ষবিন্দুর চেয়ে এর শীর্ষ অধিক খাড়া বা সূঁচালো।