গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $BD$ ব্যাস, তাই $BD=2\times OD=10$ সে.মি.

   অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ, তাই $\angle BAD=90^\circ$

   সমকোণী $\triangle ABD$ এ, $AD^2=BD^2-AB^2=100-36=64$

   $\therefore AD=8$

   উত্তর: $AD=\mathbf8$ সে.মি.

2. খ)

   বর্ণনা: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $ABCD$ একটি অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ। প্রমাণ করতে হবে $\angle ADC+\angle ABC=2$ সমকোণ।

   অঙ্কন: $O,A$ এবং $O,C$ যোগ করি।

   প্রমাণ: $AC$ চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ও বৃত্তস্থ কোণের সম্পর্ক অনুযায়ী, $ABC$ চাপের (যার উপর $\angle ADC$ দাঁড়িয়ে আছে) কেন্দ্রস্থ কোণ $=$ প্রবৃদ্ধ $\angle AOC=2\angle ADC$ এবং $ADC$ চাপের কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle AOC=2\angle ABC$।

   প্রবৃদ্ধ $\angle AOC+\angle AOC=4$ সমকোণ

   $\Rightarrow2\angle ADC+2\angle ABC=4$ সমকোণ

   $\therefore\angle ADC+\angle ABC=2$ সমকোণ (প্রমাণিত)

3. গ)

   বর্ণনা: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু $P$ থেকে $PA$ ও $PB$ দুটি স্পর্শক। প্রমাণ করতে হবে $OP$, জ্যা $AB$ এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক।

   অঙ্কন: $O,A$ এবং $O,B$ যোগ করি। $OP$, $AB$ কে $M$ বিন্দুতে ছেদ করে।

   প্রমাণ: $\triangle OAP$ ও $\triangle OBP$ এ, $OA=OB$ (ব্যাসার্ধ), $PA=PB$ (বহিঃস্থ বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় সমান), $OP$ সাধারণ বাহু।

   সুতরাং $\triangle OAP\cong\triangle OBP$ এবং $\angle AOP=\angle BOP$, অর্থাৎ $\angle AOM=\angle BOM$।

   এখন $\triangle OAM$ ও $\triangle OBM$ এ, $OA=OB$, $\angle AOM=\angle BOM$, $OM$ সাধারণ।

   সুতরাং $\triangle OAM\cong\triangle OBM$, ফলে $AM=BM$ এবং $\angle OMA=\angle OMB$।

   যেহেতু $\angle OMA+\angle OMB=180^\circ$, তাই প্রতিটি $=90^\circ$, অর্থাৎ $OP\perp AB$।

   $\therefore OP$, জ্যা $AB$ এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক। (প্রমাণিত)