∫ex(x+2)(x+3)2dx=? \int \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}}(\mathrm{x}+2)}{(\mathrm{x}+3)^{2}} \mathrm{dx}=?

Question

Accepted Answer

গ. exx+3 \frac{e^{x}}{x+3}

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত সমাকলনটি হলো:
$$\int \frac{e^x(x+2)}{(x+3)^2} dx$$

রাশিটিকে নিম্নোক্ত উপায়ে পুনর্বিন্যাস করা যায়:
$$\frac{x+2}{(x+3)^2} = \frac{(x+3) - 1}{(x+3)^2} = \frac{1}{x+3} - \frac{1}{(x+3)^2}$$

আমরা জানি, আদর্শ সূত্রানুসারে:
$$\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c$$

এখানে, যদি $f(x) = \frac{1}{x+3}$ ধরা হয়, তবে এর অন্তরজ $f'(x) = -\frac{1}{(x+3)^2}$।

সুতরাং,
$$\int e^x \left[ \frac{1}{x+3} + \left( -\frac{1}{(x+3)^2} \right) \right] dx = \frac{e^x}{x+3} + c$$

অতএব, সঠিক বিকল্পটি হলো 3।

গণিত প্রশ্ন