গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, $z = x + iy$, যেখানে $x, y \in \mathbb{R}$।
প্রদত্ত সমীকরণ:
$|z + 1| = z + 2(1 + i)$
$\implies |(x + 1) + iy| = (x + iy) + 2 + 2i$
$\implies \sqrt{(x + 1)^2 + y^2} = (x + 2) + i(y + 2)$

উভয়পক্ষের বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই:
$y + 2 = 0 \implies y = -2$
এবং
$\sqrt{(x + 1)^2 + y^2} = x + 2$

$y = -2$ বসিয়ে বর্গ করে পাই:
$(x + 1)^2 + (-2)^2 = (x + 2)^2$
$\implies x^2 + 2x + 1 + 4 = x^2 + 4x + 4$
$\implies 2x + 5 = 4x + 4$
$\implies 2x = 1$
$\implies x = \frac{1}{2}$

অতএব, $z = \frac{1}{2} - 2i$