উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   শ্রেণিবিন্যস্ত উপাত্তের ক্ষেত্রে:
   সর্বোচ্চ শ্রেণির ঊর্ধ্বসীমা $= 100$
   সর্বনিম্ন শ্রেণির নিম্নসীমা $= 51$

   $\therefore$ পরিসর (Range) $= 100 - 51 = 49$
   (অথবা প্রকৃত সীমানা বিবেচনা করলে: $100.5 - 50.5 = 50$)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   পরিমিত ব্যবধান নির্ণয়ের সারণি:
   ধরি, আনুমানিক গড় $a = 75.5$, শ্রেণি ব্যবধান $c = 10$।

   শ্রেণি	মধ্যমান ($x_i$)	গণসংখ্যা ($f_i$)	$u_i = \frac{x_i - a}{c}$	$f_i u_i$	$f_i u_i^2$
   51-60	55.5	10	-2	-20	40
   61-70	65.5	20	-1	-20	20
   71-80	75.5	15	0	0	0
   81-90	85.5	10	1	10	10
   91-100	95.5	5	2	10	20
   মোট		$N = 60$		$\sum f_i u_i = -20$	$\sum f_i u_i^2 = 90$

   পরিমিত ব্যবধান, $\sigma = c \times \sqrt{\frac{\sum f_i u_i^2}{N} - \left(\frac{\sum f_i u_i}{N}\right)^2}$
   $= 10 \times \sqrt{\frac{90}{60} - \left(\frac{-20}{60}\right)^2}$
   $= 10 \times \sqrt{1.5 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2}$
   $= 10 \times \sqrt{1.5 - \frac{1}{9}}$
   $= 10 \times \sqrt{\frac{13.5 - 1}{9}} = 10 \times \sqrt{\frac{12.5}{9}} = 10 \times \sqrt{1.3889}$
   $= 10 \times 1.1785 = 11.79$ (প্রায়)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   গাণিতিক গড় ($\bar{x}$) নির্ণয়:
   $\bar{x} = a + \frac{\sum f_i u_i}{N} \times c = 75.5 + \frac{-20}{60} \times 10 = 75.5 - 3.33 = 72.17$

   গড় ব্যবধান নির্ণয়ের সারণি:

   | শ্রেণি | $x_i$ | $f_i$ | $|x_i - \bar{x}| = |x_i - 72.17|$ | $f_i |x_i - \bar{x}|$ |
   | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
   | 51-60 | 55.5 | 10 | 16.67 | 166.7 |
   | 61-70 | 65.5 | 20 | 6.67 | 133.4 |
   | 71-80 | 75.5 | 15 | 3.33 | 49.95 |
   | 81-90 | 85.5 | 10 | 13.33 | 133.3 |
   | 91-100 | 95.5 | 5 | 23.33 | 116.65 |
   | মোট | | $N = 60$ | | $\sum f_i |x_i - \bar{x}| = 600.0$ |

   গড় ব্যবধান, $MD(\bar{x}) = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{N} = \frac{600}{60} = 10$।