গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

(a) দেওয়া আছে, $y = \sec x$
উভয়পক্ষকে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$y_1 = \frac{dy}{dx} = \sec x \tan x$

পুনরায় $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$y_2 = \frac{d}{dx}(\sec x \tan x)$
$\Rightarrow y_2 = (\sec x \tan x) \cdot \tan x + \sec x \cdot \sec^2 x$
$\Rightarrow y_2 = \sec x \tan^2 x + \sec^3 x$
আমরা জানি, $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$
$\Rightarrow y_2 = \sec x (\sec^2 x - 1) + \sec^3 x$
$\Rightarrow y_2 = \sec^3 x - \sec x + \sec^3 x$
$\Rightarrow y_2 = 2\sec^3 x - \sec x$
$\Rightarrow y_2 = \sec x (2\sec^2 x - 1)$
যেহেতু $y = \sec x$,
$\therefore y_2 = y(2y^2 - 1)$ (দেখানো হলো)

(b) দেওয়া আছে, $x^y + y^x = 0$
ধরি, $u = x^y$ এবং $v = y^x$, তাহলে $u + v = 0$
$\Rightarrow \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} = 0$

এখন, $\ln u = y \ln x$
$\Rightarrow \frac{1}{u}\frac{du}{dx} = \frac{dy}{dx}\ln x + \frac{y}{x}$
$\Rightarrow \frac{du}{dx} = x^y \left( \frac{y}{x} + \ln x \frac{dy}{dx} \right) = y x^{y-1} + x^y \ln x \frac{dy}{dx}$

আবার, $\ln v = x \ln y$
$\Rightarrow \frac{1}{v}\frac{dv}{dx} = 1 \cdot \ln y + \frac{x}{y}\frac{dy}{dx}$
$\Rightarrow \frac{dv}{dx} = y^x \left( \ln y + \frac{x}{y}\frac{dy}{dx} \right) = y^x \ln y + x y^{x-1}\frac{dy}{dx}$

অতএব,
$y x^{y-1} + x^y \ln x \frac{dy}{dx} + y^x \ln y + x y^{x-1}\frac{dy}{dx} = 0$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} (x^y \ln x + x y^{x-1}) = -(y x^{y-1} + y^x \ln y)$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y x^{y-1} + y^x \ln y}{x^y \ln x + x y^{x-1}}$