গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত ধারাটি হলো:
$1^2 + (1^2 + 2^2) + (1^2 + 2^2 + 3^2) + \dots + n$ সংখ্যক পদ পর্যন্ত।

ধারাটির $r$-তম পদ,
$T_r = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + r^2$
$\Rightarrow T_r = \frac{r(r + 1)(2r + 1)}{6} = \frac{2r^3 + 3r^2 + r}{6}$

অতএব, প্রথম $n$ সংখ্যক পদের যোগফল $S_n$:
$S_n = \sum_{r=1}^{n} T_r = \frac{1}{6} \left[ 2\sum_{r=1}^{n} r^3 + 3\sum_{r=1}^{n} r^2 + \sum_{r=1}^{n} r \right]$

আমরা জানি,
$\sum r^3 = \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$
$\sum r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$\sum r = \frac{n(n+1)}{2}$

মান বসিয়ে পাই,
$S_n = \frac{1}{6} \left[ 2 \cdot \frac{n^2(n+1)^2}{4} + 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \right]$
$= \frac{1}{12} n(n + 1) [n(n + 1) + (2n + 1) + 1]$
$= \frac{1}{12} n(n + 1) [n^2 + 3n + 2]$
$= \frac{1}{12} n(n + 1) (n + 1)(n + 2)$
$= \frac{n(n + 1)^2 (n + 2)}{12}$

নির্ণেয় যোগফল: $\frac{n(n + 1)^2 (n + 2)}{12}$