পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো দৈব পরীক্ষার সম্ভাব্য সকল ফলাফল নিয়ে গঠিত সেটকে নমুনাক্ষেত্র (Sample Space) বলে। একে সাধারণত $S$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $P(A) = 1$ বলতে বোঝায় যে, ঘটনা $A$ একটি নিশ্চিত ঘটনা (Sure Event)। অর্থাৎ, সংশ্লিষ্ট দৈব পরীক্ষাটি সম্পন্ন করলে ঘটনা $A$ অবশ্যই ঘটবে। কোনো নমুনা ক্ষেত্রের সম্পূর্ণ ঘটনা বা নিশ্চিত ঘটনার সম্ভাবনা সর্বদা ১ হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   একটি নিরপেক্ষ ছক্কার ফলাফল: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
   একটি নিরপেক্ষ মুদ্রার ফলাফল: $\{H, T\}$

   একত্রে নিক্ষেপের নমুনাক্ষেত্র, $S = \{(1,H), (2,H), (3,H), (4,H), (5,H), (6,H), (1,T), (2,T), (3,T), (4,T), (5,T), (6,T)\}$
   মোট সম্ভাব্য ফলাফল সংখ্যা, $n(S) = 6 \times 2 = 12$

   ধরি, ঘটনা $E$: মুদ্রায় হেড ও ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়া।
   ছক্কার বিজোড় সংখ্যাগুলো হলো ১, ৩, ৫।
   অতএব, অনুকূল ফলাফলসমূহ = $\{(1,H), (3,H), (5,H)\}$
   অনুকূল ফলাফল সংখ্যা, $n(E) = 3$

   সুতরাং, নির্ণেয় সম্ভাবনা $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0.25$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি,
   ঘটনা $A$: ছক্কায় জোড় সংখ্যা পাওয়া।
   ঘটনা $B$: মুদ্রায় টেল পাওয়া।

   নমুনাক্ষেত্র $S$-এর মোট উপাদান সংখ্যা, $n(S) = 12$

   ঘটনা $A$-এর অনুকূল ফলাফল: $\{(2,H), (2,T), (4,H), (4,T), (6,H), (6,T)\}$
   $\therefore n(A) = 6$
   $\therefore P(A) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

   ঘটনা $B$-এর অনুকূল ফলাফল: $\{(1,T), (2,T), (3,T), (4,T), (5,T), (6,T)\}$
   $\therefore n(B) = 6$
   $\therefore P(B) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

   উভয় ঘটনা একত্রে ঘটার অনুকূল ফলাফল ($A \cap B$): ছক্কায় জোড় ও মুদ্রায় টেল
   $A \cap B = \{(2,T), (4,T), (6,T)\}$
   $\therefore n(A \cap B) = 3$
   $\therefore P(A \cap B) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

   এখন,
   $P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

   যেহেতু $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{4}$,
   সুতরাং 'ছক্কায় জোড় সংখ্যা' ও 'মুদ্রায় টেল পাওয়া' ঘটনাদ্বয় স্বাধীন।
   অতএব, আসিফের মন্তব্যটি সঠিক ছিল।