পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো দৈবচলকের মানসমূহ থেকে তার গাণিতিক প্রত্যাশার পার্থক্যের বর্গের প্রত্যাশিত মানকে ঐ দৈবচলকের ভেদাঙ্ক বলে। একে Var(X) বা σ² দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ভেদাঙ্কের সংজ্ঞা অনুযায়ী, Var(X) = E[X - E(X)]²। যেহেতু এটি বিচ্যুতির বর্গ [X - E(X)]² এর প্রত্যাশিত মান এবং বাস্তব সংখ্যার বর্গের মান সর্বদা অঋণাত্মক (শূণ্য বা ধনাত্মক) হয়, সেহেতু এর গাণিতিক প্রত্যাশাও কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না। অর্থাৎ, Var(X) ≥ 0। সুতরাং ভেদাঙ্কের মান কখনো ঋণাত্মক হয় না।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, দৈবচলক x এর সম্ভাবনা বিন্যাস:

   x: 0, 1, 2, 3
   P(x): 0.2, 0.4, 0.35, 0.05

   আমরা জানি, বিচ্ছিন্ন দৈবচলক x-এর গাণিতিক প্রত্যাশা,
   E(x) = ∑ [x · P(x)]

   অতএব,
   E(x) = (0 × 0.2) + (1 × 0.4) + (2 × 0.35) + (3 × 0.05)
   = 0 + 0.4 + 0.70 + 0.15
   = 1.25

   সুতরাং, E(x) = 1.25।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত বিন্যাস হতে পাই:
   E(x²) = ∑ [x² · P(x)]
   = (0² × 0.2) + (1² × 0.4) + (2² × 0.35) + (3² × 0.05)
   = (0 × 0.2) + (1 × 0.4) + (4 × 0.35) + (9 × 0.05)
   = 0 + 0.4 + 1.40 + 0.45
   = 2.25

   'গ' থেকে প্রাপ্ত,
   E(x) = 1.25
   অতএব, {E(x)}² = (1.25)² = 1.5625

   এখন,
   E(x²) = 2.25 এবং {E(x)}² = 1.5625
   যেহেতু 2.25 > 1.5625,
   অতএব, E(x²) > {E(x)}² সম্পর্কটি সঠিক এবং যাচাই করা হলো।