পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যে বিচ্ছিন্ন দৈব চলকের মানসমূহ পৈঁসু সম্ভাবনা অপেক্ষক মেনে চলে, তাকে পৈঁসু চলক বলে। অর্থাৎ, কোনো বিচ্ছিন্ন দৈব চলক $X$ যদি নির্দিষ্ট সময় বা স্থানে কোনো ঘটনা ঘটার সংখ্যা নির্দেশ করে এবং এর সম্ভাবনা অপেক্ষক $P(X=x) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}$ (যেখানে $x = 0, 1, 2, \dots, \infty$ এবং $\lambda > 0$) হয়, তবে $X$-কে পৈঁসু চলক বলা হয়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   পৈঁসু বিন্যাসের একমাত্র পরামিতি হলো $\lambda$, যা বিন্যাসটির গড় নির্দেশ করে। আমরা জানি, $\lambda = np$, যেখানে $n$ হলো মোট পরীক্ষার সংখ্যা বা সময়/স্থান এবং $p$ হলো নির্দিষ্ট ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা। যেহেতু পরীক্ষার সংখ্যা $n > 0$ একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং কোনো ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা $p$ সর্বদা অঋণাত্মক ও শূন্য হতে পারে না ($p > 0$), তাই এদের গুণফল $\lambda = np$ সর্বদা একটি ধনাত্মক মান নির্দেশ করে (অর্থাৎ $\lambda > 0$)। অতএব, পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতির মান সব সময় ধনাত্মক হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে,
   নমুনার আকার, $n = 100$
   একটি পণ্যের ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা, $p = 1\% = 0.01$
   যেহেতু $n$ তুলনামূলকভাবে বড় এবং $p$ অতি ক্ষুদ্র, তাই এটি একটি পৈঁসু বিন্যাস মেনে চলে।
   এখানে, পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি, $\lambda = np = 100 \times 0.01 = 1$

   পৈঁসু বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষকটি হলো:
   $P(X=x) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}; \quad x = 0, 1, 2, \dots$

   অতএব, $x = 1$-এর জন্য সম্ভাবনা:
   $P(X=1) = \frac{e^{-1} \cdot 1^1}{1!} = \frac{e^{-1} \cdot 1}{1} = e^{-1} \approx 0.3679$

   সুতরাং, $P(X=1) = 0.3679$ (প্রায়)।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   বিন্যাসটির গঠন-প্রকৃতি নির্ণয়ের জন্য বঙ্কিমতা ও সূঁচলতা পরিমাপ করা প্রয়োজন।
   এখানে, পরামিতি $\lambda = 1$

   (i) বঙ্কিমতা যাচাই:
   পৈঁসু বিন্যাসের বঙ্কিমতাঙ্ক, $\gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{\lambda}}$
   বা, $\gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{1}} = 1$
   যেহেতু $\gamma_1 > 0$, তাই বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম বা ডানদিকে হেলানো।

   (ii) সূঁচলতা যাচাই:
   পৈঁসু বিন্যাসের সূঁচলতাঙ্ক, $\beta_2 = 3 + \frac{1}{\lambda}$
   বা, $\beta_2 = 3 + \frac{1}{1} = 4$
   যেহেতু $\beta_2 > 3$ (বা অতিরিক্ত সূঁচলতাঙ্ক $\gamma_2 = \beta_2 - 3 = 1 > 0$), তাই বিন্যাসটি অতি-সূঁচালো (Leptokurtic)।

   মন্তব্য: উদ্দীপকের তথ্য থেকে প্রাপ্ত পৈঁসু বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম (positive skewed) এবং অতি-সূঁচালো (leptokurtic) প্রকৃতির।