উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   (-2, 3) ও (3, -4) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ:
   $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$
   $\Rightarrow (x - (-2))(x - 3) + (y - 3)(y - (-4)) = 0$
   $\Rightarrow (x + 2)(x - 3) + (y - 3)(y + 4) = 0$
   $\Rightarrow x^2 - x - 6 + y^2 + y - 12 = 0$
   $\Rightarrow x^2 + y^2 - x + y - 18 = 0$

   অতএব, নির্ণেয় সমীকরণ: $x^2 + y^2 - x + y - 18 = 0$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত বৃত্তদ্বয়:
   $S_1 \equiv x^2 + y^2 + 2x + 3y + 1 = 0$ .......... (i)
   $S_2 \equiv x^2 + y^2 + 4x + 3y + 3 = 0$ .......... (ii)

   (i) ও (ii) নং বৃত্তের ছেদবিন্দুগামী যেকোনো বৃত্তের সমীকরণ:
   $(x^2 + y^2 + 2x + 3y + 1) + k(x^2 + y^2 + 4x + 3y + 3) = 0$ .......... (iii)

   যেহেতু বৃত্তটি মূলবিন্দু $(0, 0)$ দিয়ে যায়, তাই:
   $(0 + 0 + 0 + 0 + 1) + k(0 + 0 + 0 + 0 + 3) = 0$
   $\Rightarrow 1 + 3k = 0 \Rightarrow k = -\frac{1}{3}$

   $k$ এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই:
   $(x^2 + y^2 + 2x + 3y + 1) - \frac{1}{3}(x^2 + y^2 + 4x + 3y + 3) = 0$
   $\Rightarrow 3(x^2 + y^2 + 2x + 3y + 1) - (x^2 + y^2 + 4x + 3y + 3) = 0$
   $\Rightarrow 2x^2 + 2y^2 + 2x + 6y = 0$
   $\Rightarrow x^2 + y^2 + x + 3y = 0$

   সমীকরণটিকে আদর্শ সমীকরণ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ এর সাথে তুলনা করে পাই:
   $2g = 1 \Rightarrow g = \frac{1}{2}$ এবং $c = 0$

   সুতরাং, বৃত্তটি দ্বারা $x$-অক্ষের খণ্ডিতাংশের পরিমাণ:
   $= 2\sqrt{g^2 - c} = 2\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 0} = 2 \times \frac{1}{2} = 1$ একক।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত বৃত্ত:
   $x^2 + y^2 + 2x + 3y + 1 = 0$
   বৃত্তটির কেন্দ্র $C = \left(-\frac{2}{2}, -\frac{3}{2}\right) = \left(-1, -\frac{3}{2}\right)$
   এবং ব্যাসার্ধ $r = \sqrt{(-1)^2 + \left(-\frac{3}{2}\right)^2 - 1} = \sqrt{1 + \frac{9}{4} - 1} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$

   $(-1, 1)$ বিন্দুগামী যেকোনো সরলরেখার সমীকরণ:
   $y - 1 = m(x - (-1))$
   $\Rightarrow mx - y + m + 1 = 0$ .......... (iv)

   যদি (iv) নং রেখাটি বৃত্তের স্পর্শক হয়, তবে কেন্দ্র $\left(-1, -\frac{3}{2}\right)$ হতে রেখাটির লম্বদূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান হবে:
   $\left| \frac{m(-1) - \left(-\frac{3}{2}\right) + m + 1}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} \right| = \frac{3}{2}$
   $\Rightarrow \left| \frac{-m + \frac{3}{2} + m + 1}{\sqrt{m^2 + 1}} \right| = \frac{3}{2}$
   $\Rightarrow \frac{\frac{5}{2}}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{3}{2}$
   $\Rightarrow \frac{5}{\sqrt{m^2 + 1}} = 3$
   উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই:
   $\frac{25}{m^2 + 1} = 9$
   $\Rightarrow 9m^2 + 9 = 25$
   $\Rightarrow 9m^2 = 16$
   $\Rightarrow m^2 = \frac{16}{9} \Rightarrow m = \pm \frac{4}{3}$

   $m = \frac{4}{3}$ হলে স্পর্শকের সমীকরণ:
   $\frac{4}{3}x - y + \frac{4}{3} + 1 = 0 \Rightarrow 4x - 3y + 7 = 0$

   $m = -\frac{4}{3}$ হলে স্পর্শকের সমীকরণ:
   $-\frac{4}{3}x - y - \frac{4}{3} + 1 = 0 \Rightarrow -4x - 3y - 1 = 0 \Rightarrow 4x + 3y + 1 = 0$

   অতএব, নির্ণেয় স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ: $4x - 3y + 7 = 0$ এবং $4x + 3y + 1 = 0$।