উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৫

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

P=nsinαcosα1−nsin2α−tanβ P = \frac{nsin\alpha cos\alpha}{1-nsin^2\alpha} - tan\beta Q=cotA+cotB+cotC Q = cotA + cotB + cotC

  1. ক)

    প্রমাণ কর যে, sec(π4+θ)⋅sec(π4−θ)=2sec2θ sec\left(\frac{\pi}{4} + \theta\right) \cdot sec\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right) = 2sec2\theta .

    (1)
  2. খ)

    P = 0 হলে, দেখাও যে, tan(α−β)=(1−n)tanα tan(\alpha - \beta) = (1-n) tan\alpha .

    (2)
  3. গ)

    A+B+C=π A+B+C = \pi এবং Q2=3 Q^2 = 3 হলে, প্রমাণ কর যে, A=B=C A = B = C .

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    বামপক্ষ =sec⁡(π4+θ)⋅sec⁡(π4−θ)= \sec\left(\frac{\pi}{4} + \theta\right) \cdot \sec\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right)
    =1cos⁡(π4+θ)cos⁡(π4−θ)= \frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{4} + \theta\right) \cos\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right)}
    =22cos⁡(π4+θ)cos⁡(π4−θ)= \frac{2}{2\cos\left(\frac{\pi}{4} + \theta\right) \cos\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right)}

    আমরা জানি, 2cos⁡Acos⁡B=cos⁡(A+B)+cos⁡(A−B)2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)
    =2cos⁡((π4+θ)+(π4−θ))+cos⁡((π4+θ)−(π4−θ))= \frac{2}{\cos\left(\left(\frac{\pi}{4} + \theta\right) + \left(\frac{\pi}{4} - \theta\right)\right) + \cos\left(\left(\frac{\pi}{4} + \theta\right) - \left(\frac{\pi}{4} - \theta\right)\right)}
    =2cos⁡(π2)+cos⁡(2θ)= \frac{2}{\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos(2\theta)}
    =20+cos⁡2θ=2cos⁡2θ=2sec⁡2θ== \frac{2}{0 + \cos 2\theta} = \frac{2}{\cos 2\theta} = 2\sec 2\theta = ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, P=nsin⁡αcos⁡α1−nsin⁡2α−tan⁡βP = \frac{n\sin\alpha \cos\alpha}{1 - n\sin^2\alpha} - \tan\beta

    P=0P = 0 হলে,
    tan⁡β=nsin⁡αcos⁡α1−nsin⁡2α\tan\beta = \frac{n\sin\alpha \cos\alpha}{1 - n\sin^2\alpha}

    এখন, বামপক্ষ =tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β= \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta}
    =tan⁡α−nsin⁡αcos⁡α1−nsin⁡2α1+tan⁡α⋅nsin⁡αcos⁡α1−nsin⁡2α= \frac{\tan\alpha - \frac{n\sin\alpha \cos\alpha}{1 - n\sin^2\alpha}}{1 + \tan\alpha \cdot \frac{n\sin\alpha \cos\alpha}{1 - n\sin^2\alpha}}
    =sin⁡αcos⁡α−nsin⁡αcos⁡α1−nsin⁡2α1+sin⁡αcos⁡α⋅nsin⁡αcos⁡α1−nsin⁡2α= \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{n\sin\alpha \cos\alpha}{1 - n\sin^2\alpha}}{1 + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{n\sin\alpha \cos\alpha}{1 - n\sin^2\alpha}}
    =sin⁡α(1−nsin⁡2α)−nsin⁡αcos⁡2αcos⁡α(1−nsin⁡2α)cos⁡α(1−nsin⁡2α)+nsin⁡2αcos⁡αcos⁡α(1−nsin⁡2α)= \frac{\frac{\sin\alpha(1 - n\sin^2\alpha) - n\sin\alpha \cos^2\alpha}{\cos\alpha (1 - n\sin^2\alpha)}}{\frac{\cos\alpha(1 - n\sin^2\alpha) + n\sin^2\alpha \cos\alpha}{\cos\alpha(1 - n\sin^2\alpha)}}
    =sin⁡α−nsin⁡α(sin⁡2α+cos⁡2α)cos⁡α−nsin⁡2αcos⁡α+nsin⁡2αcos⁡α= \frac{\sin\alpha - n\sin\alpha(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)}{\cos\alpha - n\sin^2\alpha \cos\alpha + n\sin^2\alpha \cos\alpha}
    =sin⁡α−nsin⁡α(1)cos⁡α= \frac{\sin\alpha - n\sin\alpha(1)}{\cos\alpha}
    =(1−n)sin⁡αcos⁡α=(1−n)tan⁡α== \frac{(1 - n)\sin\alpha}{\cos\alpha} = (1 - n)\tan\alpha = ডানপক্ষ। (দেখানো হলো)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, A+B+C=πA + B + C = \pi
    আমরা জানি, A+B+C=πA + B + C = \pi হলে,
    cot⁡Acot⁡B+cot⁡Bcot⁡C+cot⁡Ccot⁡A=1\cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A = 1

    আরও দেওয়া আছে, Q=cot⁡A+cot⁡B+cot⁡CQ = \cot A + \cot B + \cot C এবং Q2=3Q^2 = 3
    ⇒(cot⁡A+cot⁡B+cot⁡C)2=3\Rightarrow (\cot A + \cot B + \cot C)^2 = 3
    ⇒cot⁡2A+cot⁡2B+cot⁡2C+2(cot⁡Acot⁡B+cot⁡Bcot⁡C+cot⁡Ccot⁡A)=3\Rightarrow \cot^2 A + \cot^2 B + \cot^2 C + 2(\cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A) = 3
    ⇒cot⁡2A+cot⁡2B+cot⁡2C+2(1)=3\Rightarrow \cot^2 A + \cot^2 B + \cot^2 C + 2(1) = 3
    ⇒cot⁡2A+cot⁡2B+cot⁡2C=1\Rightarrow \cot^2 A + \cot^2 B + \cot^2 C = 1

    অতএব,
    cot⁡2A+cot⁡2B+cot⁡2C=cot⁡Acot⁡B+cot⁡Bcot⁡C+cot⁡Ccot⁡A\cot^2 A + \cot^2 B + \cot^2 C = \cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A
    উভয়পক্ষকে 22 দ্বারা গুণ করে পাই:
    2cot⁡2A+2cot⁡2B+2cot⁡2C−2cot⁡Acot⁡B−2cot⁡Bcot⁡C−2cot⁡Ccot⁡A=02\cot^2 A + 2\cot^2 B + 2\cot^2 C - 2\cot A \cot B - 2\cot B \cot C - 2\cot C \cot A = 0
    ⇒(cot⁡A−cot⁡B)2+(cot⁡B−cot⁡C)2+(cot⁡C−cot⁡A)2=0\Rightarrow (\cot A - \cot B)^2 + (\cot B - \cot C)^2 + (\cot C - \cot A)^2 = 0

    যেহেতু একাধিক বাস্তব রাশির বর্গের সমষ্টি শূন্য, তাই প্রতিটি রাশি পৃথকভাবে শূন্য হবে:
    cot⁡A−cot⁡B=0⇒cot⁡A=cot⁡B⇒A=B\cot A - \cot B = 0 \Rightarrow \cot A = \cot B \Rightarrow A = B
    cot⁡B−cot⁡C=0⇒cot⁡B=cot⁡C⇒B=C\cot B - \cot C = 0 \Rightarrow \cot B = \cot C \Rightarrow B = C
    cot⁡C−cot⁡A=0⇒cot⁡C=cot⁡A⇒C=A\cot C - \cot A = 0 \Rightarrow \cot C = \cot A \Rightarrow C = A

    অতএব, A=B=CA = B = C। (প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন