গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত সমীকরণ:
$\frac{\sqrt{3}}{\sin 2x} - \frac{1}{\cos 2x} = 4$

$\Rightarrow \frac{\sqrt{3}\cos 2x - \sin 2x}{\sin 2x \cos 2x} = 4$
$\Rightarrow \sqrt{3}\cos 2x - \sin 2x = 4\sin 2x \cos 2x$
$\Rightarrow \sqrt{3}\cos 2x - \sin 2x = 2(2\sin 2x \cos 2x)$
$\Rightarrow \sqrt{3}\cos 2x - \sin 2x = 2\sin 4x$

উভয়পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x - \frac{1}{2}\sin 2x = \sin 4x$
$\Rightarrow \sin\frac{\pi}{3}\cos 2x - \cos\frac{\pi}{3}\sin 2x = \sin 4x$
$\Rightarrow \sin\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) = \sin 4x$

আমরা জানি, $\sin\theta = \sin\alpha$ হলে $\theta = n\pi + (-1)^n \alpha$, যেখানে $n \in \mathbb{Z}$
সুতরাং,
$4x = n\pi + (-1)^n \left(\frac{\pi}{3} - 2x\right)$

ক্ষেত্র ১: যদি $n$ জোড় হয়, অর্থাৎ $n = 2k$ ($k \in \mathbb{Z}$):
$4x = 2k\pi + \frac{\pi}{3} - 2x$
$\Rightarrow 6x = 2k\pi + \frac{\pi}{3}$
$\Rightarrow x = \frac{k\pi}{3} + \frac{\pi}{18}$

ক্ষেত্র ২: যদি $n$ বিজোড় হয়, অর্থাৎ $n = 2k + 1$ ($k \in \mathbb{Z}$):
$4x = (2k+1)\pi - \left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) = 2k\pi + \pi - \frac{\pi}{3} + 2x$
$\Rightarrow 2x = 2k\pi + \frac{2\pi}{3}$
$\Rightarrow x = k\pi + \frac{\pi}{3}$

নির্ণেয় সমাধান: $x = \frac{k\pi}{3} + \frac{\pi}{18}$ অথবা $x = k\pi + \frac{\pi}{3}$, যেখানে $k \in \mathbb{Z}$।