গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
$f(x) = x^5 - 5x^4 + 5x^3 - 1$

$x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$f'(x) = 5x^4 - 20x^3 + 15x^2$
এবং
$f''(x) = 20x^3 - 60x^2 + 30x$

সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মানের জন্য,
$f'(x) = 0$
$\Rightarrow 5x^2(x^2 - 4x + 3) = 0$
$\Rightarrow 5x^2(x - 1)(x - 3) = 0$
$\therefore x = 0, 1, 3$

এখন,
১. $x = 1$ হলে,
$f''(1) = 20(1)^3 - 60(1)^2 + 30(1) = -10 < 0$
সুতরাং, $x = 1$ বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান রয়েছে।
সর্বোচ্চ মান, $f(1) = (1)^5 - 5(1)^4 + 5(1)^3 - 1 = 1 - 5 + 5 - 1 = 0$

২. $x = 3$ হলে,
$f''(3) = 20(3)^3 - 60(3)^2 + 30(3) = 540 - 540 + 90 = 90 > 0$
সুতরাং, $x = 3$ বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান রয়েছে।
সর্বনিম্ন মান, $f(3) = (3)^5 - 5(3)^4 + 5(3)^3 - 1 = 243 - 405 + 135 - 1 = -28$

(উল্লেখ্য, $x = 0$ বিন্দুতে $f''(0) = 0$ এবং $f'(x)$-এর চিহ্নের কোনো পরিবর্তন হয় না, তাই এটি অনমনীয় বিন্দু বা চরম বিন্দু নয়।)

উত্তর:
সর্বোচ্চ মান $= 0$
সর্বনিম্ন মান $= -28$