উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $\cos^{-1}\sqrt{\frac{2}{3}} = \alpha$
   $\therefore \cos\alpha = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}}$
   তাহলে, লম্ব $= \sqrt{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{3-2} = 1$
   $\therefore \sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$

   প্রদত্ত রাশি:
   $\tan^{-1}\left(\sin\cos^{-1}\sqrt{\frac{2}{3}}\right) = \tan^{-1}(\sin\alpha) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $A = \cos\theta$, $B = \sin\theta$
   প্রদত্ত সমীকরণ: $A + \sqrt{3}B = \sqrt{2}$
   $\Rightarrow \cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta = \sqrt{2}$

   উভয়পক্ষকে $\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $\frac{1}{2}\cos\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$
   $\Rightarrow \cos\theta\cos\frac{\pi}{3} + \sin\theta\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
   $\Rightarrow \cos\left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{4}$
   $\Rightarrow \theta - \frac{\pi}{3} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}$ [যেখানে $n \in \mathbb{Z}$]
   $\Rightarrow \theta = 2n\pi + \frac{\pi}{3} \pm \frac{\pi}{4}$

   ধনাত্মক চিহ্ন নিয়ে:
   $\theta = 2n\pi + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = 2n\pi + \frac{7\pi}{12}$

   ঋণাত্মক চিহ্ন নিয়ে:
   $\theta = 2n\pi + \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = 2n\pi + \frac{\pi}{12}$

   $\therefore \theta = 2n\pi + \frac{7\pi}{12}$ অথবা $\theta = 2n\pi + \frac{\pi}{12}$, যেখানে $n \in \mathbb{Z}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $A + B = C + D$
   $\Rightarrow \cos\theta + \sin\theta = \cos 2\theta + \sin 2\theta$
   $\Rightarrow \cos\theta - \cos 2\theta = \sin 2\theta - \sin\theta$
   $\Rightarrow 2\sin\frac{3\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2} = 2\cos\frac{3\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}$
   $\Rightarrow 2\sin\frac{\theta}{2}\left(\sin\frac{3\theta}{2} - \cos\frac{3\theta}{2}\right) = 0$

   হয় $\sin\frac{\theta}{2} = 0$
   $\Rightarrow \frac{\theta}{2} = n\pi \Rightarrow \theta = 2n\pi$
   $[0, \frac{\pi}{2}]$ ব্যবধিতে $n=0$ হলে $\theta = 0$।

   অথবা, $\sin\frac{3\theta}{2} - \cos\frac{3\theta}{2} = 0$
   $\Rightarrow \tan\frac{3\theta}{2} = 1 = \tan\frac{\pi}{4}$
   $\Rightarrow \frac{3\theta}{2} = n\pi + \frac{\pi}{4}$
   $\Rightarrow \theta = \frac{2n\pi}{3} + \frac{\pi}{6}$
   $[0, \frac{\pi}{2}]$ ব্যবধিতে $n=0$ হলে $\theta = \frac{\pi}{6}$।

   সুতরাং, $[0, \frac{\pi}{2}]$ ব্যবধিতে সমাধান বিদ্যমান এবং তা হলো $\theta = 0, \frac{\pi}{6}$।