উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   স্পষ্ট LaTeX অংশে আপেক্ষিক বেগ $\sqrt{13}$ দেওয়া আছে। দুই বেগের মধ্যবর্তী কোণ θ হলে
   $|\vec v_1-\vec v_2|^2=4^2+5^2-2(4)(5)\cos\theta$।
   তাই $13=41-40\cos\theta$, অর্থাৎ $\cos\theta=7/10$ এবং $\boxed{\theta=\cos^{-1}(7/10)\approx45.573^\circ}$। উৎসের অস্পষ্ট plain-text 13-কে আক্ষরিক 13 একক ধরলে সর্বোচ্চ আপেক্ষিক বেগ $4+5=9$-এর চেয়েও বড় হয়; সেই পাঠ ভৌতভাবে সম্ভব নয়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   বায়ুর বাধা উপেক্ষিত এবং দ্বিতীয় পাথরটিও স্থির অবস্থা থেকে ছাড়া হয়েছে ধরা হলো। প্রথম পাথর x নামার পর তার বেগ $u=\sqrt{2gx}$। তখন প্রথম ও দ্বিতীয় পাথরের উল্লম্ব ব্যবধান x; উভয়ের পরবর্তী ত্বরণ g হওয়ায় তাদের আপেক্ষিক ত্বরণ শূন্য এবং আপেক্ষিক বেগ u অপরিবর্তিত। একই সময়ে ভূমিতে পৌঁছতে পরবর্তী সময় τ-এ প্রথমটি দ্বিতীয়টির চেয়ে x বেশি পথ যায়, তাই $u\tau=x$।
   দ্বিতীয় পাথরের পতনদূরত্ব
   $s=\tfrac12g\tau^2=\tfrac12g(x/u)^2=\frac{gx^2}{2(2gx)}=\boxed{x/4}$। ফলে টাওয়ারের উচ্চতাও $2x+x/4=9x/4$; এটি সম্পর্কের একটি যাচাই।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্র সরাসরি পড়া হয়েছে: দুটি বিন্দু $(1/a,2/a)$ ও $(3/a,1/a)$; O ও A একই অনুভূমিক ভূমিতে। a > 0 ধরে সাধারণ বায়ু-বাধাহীন প্রক্ষেপকের গতিপথ
   $y=x\tan\alpha-Kx^2$, যেখানে $K=g/(2u^2\cos^2\alpha)$।
   প্রথম বিন্দু বসালে $2=\tan\alpha-K/a$; দ্বিতীয়টি বসালে $1=3\tan\alpha-9K/a$। এ দুটি থেকে $K/a=5/6$ ও $\tan\alpha=17/6$।
   ভূমিতে আবার y = 0 হলে অশূন্য মূল তথা পাল্লা
   $OA=R=\tan\alpha/K=17/(5a)$। চিত্রে $OC=3/a$, তাই
   $CA=OA-OC=17/(5a)-3/a=\boxed{2/(5a)}$।
   উৎসের দাবির সমস্যা: প্রদত্ত চিত্রের স্থানাঙ্ক দিয়ে $CA=1/(3a)$ প্রমাণিত হয় না; সঠিক হিসাব $2/(5a)$। যেমন a = 1 হলে একই দুই বিন্দুর পরাবৃত্ত $y=(17/6)x-(5/6)x^2$ এবং CA = 0.4, 1/3 নয়। কোনো স্থানাঙ্ক নিঃশব্দে বদলে দাবি মিলিয়ে দেওয়া হয়নি; মূল চিত্র বা দাবিটি যাচাই করা দরকার।