উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো নির্দিষ্ট সরলরেখা বরাবর কোনো বলের লম্ব অভিক্ষেপকে ঐ নির্দিষ্ট সরলরেখা বরাবর উক্ত বলের লম্বাংশ (resolved part) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ এ, $O$ হলো $\triangle ABC$ এর অন্তঃকেন্দ্র এবং $P_1, P_2, P_3$ বলত্রয় যথাক্রমে $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$ বরাবর ক্রিয়ারত থেকে সাম্যাবস্থায় রয়েছে।

   যেহেতু $O$ অন্তঃকেন্দ্র, তাই $\angle OBC = \frac{B}{2}$ এবং $\angle OCB = \frac{C}{2}$।
   $\triangle OBC$ হতে,
   $\angle BOC = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^\circ - \frac{B+C}{2} = 180^\circ - \frac{180^\circ - A}{2} = 90^\circ + \frac{A}{2}$।
   অনুরূপভাবে,
   $\angle COA = 90^\circ + \frac{B}{2}$
   এবং $\angle AOB = 90^\circ + \frac{C}{2}$।

   যেহেতু বলত্রয় সাম্যাবস্থায় রয়েছে, লামির উপপাদ্য অনুসারে,
   $\frac{P_1}{\sin \angle BOC} = \frac{P_2}{\sin \angle COA} = \frac{P_3}{\sin \angle AOB}$
   বা, $\frac{P_1}{\sin(90^\circ + \frac{A}{2})} = \frac{P_2}{\sin(90^\circ + \frac{B}{2})} = \frac{P_3}{\sin(90^\circ + \frac{C}{2})}$
   বা, $\frac{P_1}{\cos \frac{A}{2}} = \frac{P_2}{\cos \frac{B}{2}} = \frac{P_3}{\cos \frac{C}{2}}$

   বর্গ করে পাই,
   $\frac{P_1^2}{\cos^2 \frac{A}{2}} = \frac{P_2^2}{\cos^2 \frac{B}{2}} = \frac{P_3^2}{\cos^2 \frac{C}{2}}$
   বা, $\frac{P_1^2}{2\cos^2 \frac{A}{2}} = \frac{P_2^2}{2\cos^2 \frac{B}{2}} = \frac{P_3^2}{2\cos^2 \frac{C}{2}}$
   বা, $\frac{P_1^2}{1 + \cos A} = \frac{P_2^2}{1 + \cos B} = \frac{P_3^2}{1 + \cos C}$

   অতএব, $P_1^2 : P_2^2 : P_3^2 = (1 + \cos A) : (1 + \cos B) : (1 + \cos C)$। (দেখানো হলো)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ এ, $A$ বিন্দুতে নিম্নমুখী $15\text{ N}$ এবং $B$ বিন্দুতে ঊর্ধ্বমুখী $10\text{ N}$ এর দুটি অসদৃশ সমান্তরাল বল ক্রিয়ারত, যেখানে $AB = 20\text{ cm}$।

   যেহেতু $15\text{ N} > 10\text{ N}$, তাই এদের লব্ধি $R = 15 - 10 = 5\text{ N}$ বৃহত্তর বলের দিকে $BA$ বর্ধিতাংশের উপর কোনো বিন্দু $C$-তে নিম্নমুখী ক্রিয়া করবে।
   অসদৃশ সমান্তরাল বলের সূত্রানুযায়ী:
   $15 \times AC = 10 \times BC$
   বা, $15 \times AC = 10 \times (AB + AC)$
   বা, $15 \times AC = 10 \times (20 + AC) = 200 + 10 \times AC$
   বা, $5 \times AC = 200$
   বা, $AC = 40\text{ cm}$।

   ধরি, উভয় বলের সাথে $x\text{ N}$ বল যোগ করা হলো।
   তাহলে নতুন বলদ্বয় হবে যথাক্রমে $(15 + x)\text{ N}$ এবং $(10 + x)\text{ N}$।
   যেহেতু $(15 + x) > (10 + x)$, নতুন লব্ধি $BA$-এর বর্ধিতাংশের উপর নতুন বিন্দু $C'$-তে ক্রিয়া করবে।
   অতএব,
   $(15 + x) \times AC' = (10 + x) \times BC'$
   বা, $(15 + x) \times AC' = (10 + x) \times (20 + AC')$
   বা, $(15 + x) \times AC' = 20(10 + x) + (10 + x) \times AC'$
   বা, $5 \times AC' = 20(10 + x)$
   বা, $AC' = 4(10 + x) = 40 + 4x$।

   প্রশ্নমতে, নতুন লব্ধি পূর্বের লব্ধি থেকে $8\text{ cm}$ দূরে সরে যায়, অর্থাৎ $|AC' - AC| = 8\text{ cm}$।
   যেহেতু $AC' = 40 + 4x > 40$,
   $AC' - AC = 8$
   বা, $(40 + 4x) - 40 = 8$
   বা, $4x = 8$
   বা, $x = 2\text{ N}$।

   সুতরাং, বলদ্বয়ের প্রত্যেকের সাথে $2\text{ N}$ বল যোগ করতে হবে।