উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, বলদ্বয় $P = 7\text{ N}$ এবং $Q = 8\text{ N}$ এবং এদের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha = 120^\circ$।

   আমরা জানি, লব্ধি $R$ হলে,
   $R = \sqrt{P^2 + Q^2 + 2PQ\cos\alpha}$
   $R = \sqrt{7^2 + 8^2 + 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos 120^\circ}$
   $R = \sqrt{49 + 64 + 112 \left(-\frac{1}{2}\right)}$
   $R = \sqrt{113 - 56} = \sqrt{57}\text{ N} \approx 7.55\text{ N}$

   অতএব, লব্ধির মান $\sqrt{57}\text{ N}$ বা প্রায় $7.55\text{ N}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $\triangle DEF$-এর অন্তঃকেন্দ্র $I$ এবং $I$ বিন্দুতে $P, Q, R$ বলত্রয় যথাক্রমে $ID, IE, IF$ বরাবর ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থায় রয়েছে।

   যেহেতু $I$ হলো $\triangle DEF$-এর অন্তঃকেন্দ্র, তাই $ID, IE, IF$ রেখাগুলো যথাক্রমে $\angle D, \angle E, \angle F$-এর সমদ্বিখণ্ডক।
   অতএব, $\triangle IEF$-এ,
   $\angle IEF = \frac{E}{2}$ এবং $\angle IFE = \frac{F}{2}$
   তাহলে,
   $\angle EIF = 180^\circ - (\angle IEF + \angle IFE) = 180^\circ - \left(\frac{E}{2} + \frac{F}{2}\right)$
   আমরা জানি, $D + E + F = 180^\circ \implies \frac{E}{2} + \frac{F}{2} = 90^\circ - \frac{D}{2}$
   $\therefore \angle EIF = 180^\circ - \left(90^\circ - \frac{D}{2}\right) = 90^\circ + \frac{D}{2}$

   অনুরূপভাবে,
   $\angle DIF = 90^\circ + \frac{E}{2}$
   $\angle DIE = 90^\circ + \frac{F}{2}$

   এখন, লামির উপপাদ্য অনুযায়ী,
   $\frac{P}{\sin(\angle EIF)} = \frac{Q}{\sin(\angle DIF)} = \frac{R}{\sin(\angle DIE)}$
   $\implies \frac{P}{\sin(90^\circ + D/2)} = \frac{Q}{\sin(90^\circ + E/2)} = \frac{R}{\sin(90^\circ + F/2)}$
   $\implies \frac{P}{\cos(D/2)} = \frac{Q}{\cos(E/2)} = \frac{R}{\cos(F/2)}$

   $\therefore P : Q : R = \cos\frac{D}{2} : \cos\frac{E}{2} : \cos\frac{F}{2}\quad\text{(প্রমাণিত)}$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে, $AB$ রেখাংশের $A$ ও $B$ বিন্দুতে যথাক্রমে $P$ ও $Q$ মানের দুটি সদৃশ সমান্তরাল বল ক্রিয়া করে। তাদের লব্ধি $R = P + Q$ রেখাংশের $C$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে।

   সদৃশ সমান্তরাল বলের সূত্রানুযায়ী:
   $P \cdot AC = Q \cdot BC$
   $\implies P \cdot AC = Q \cdot (AB - AC)$
   $\implies P \cdot AC + Q \cdot AC = Q \cdot AB$
   $\implies (P + Q)AC = Q \cdot AB \implies AC = \frac{Q}{P+Q} AB \quad \dots (1)$

   এখন, $P$ বলটিকে $A$ বিন্দু থেকে $x$ দূরত্বে $D$ বিন্দুতে সমান্তরালে স্থানান্তরিত করা হলো (অর্থাৎ $AD = x$)। ফলে নতুন লব্ধি $R$ এর ক্রিয়াবিন্দু $C$ থেকে $d$ দূরত্বে $C'$ বিন্দুতে স্থানান্তরিত হয় (অর্থাৎ $CC' = d$)।

   নতুন অবস্থানে, $D$ বিন্দুতে $P$ বল এবং $B$ বিন্দুতে $Q$ বল ক্রিয়া করে এবং তাদের লব্ধি $C'$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে।
   সুতরাং,
   $P \cdot DC' = Q \cdot BC'$
   $\implies P \cdot (AC' - AD) = Q \cdot (AB - AC')$
   $\implies P \cdot (AC + d - x) = Q \cdot (AB - AC - d)$
   $\implies P \cdot AC + P \cdot d - P \cdot x = Q \cdot AB - Q \cdot AC - Q \cdot d$
   $\implies (P + Q)AC + (P + Q)d - Px = Q \cdot AB$

   সমীকরণ (1) হতে $(P+Q)AC = Q \cdot AB$ বসিয়ে পাই:
   $Q \cdot AB + (P + Q)d - Px = Q \cdot AB$
   $\implies (P + Q)d - Px = 0$
   $\implies (P + Q)d = Px$
   $\therefore d = \frac{Px}{P+Q}\quad\text{(প্রমাণিত)}$