পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো দৈব চলকের প্রতিটি সম্ভাব্য মান এবং তাদের নিজ নিজ সম্ভাবনার গুণফলের সমষ্টিকে ওই দৈব চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   না, দৈব চলকে ভেদাঙ্কের মান কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না।

   কারণ, ভেদাঙ্ক হলো চলকের প্রতিটি মান থেকে তার গাণিতিক গড়ের দূরত্বের বা বি বিচ্যুতির বর্গের গাণিতিক প্রত্যাশা, অর্থাৎ $V(x) = E[(x - E(x))^2]$। যেহেতু কোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ সর্বদা অঋণাত্মক (শূণ্য বা ধনাত্মক) হয়, তাই বর্গের প্রত্যাশাও কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না। সুতরাং ভেদাঙ্কের মান সর্বদা $V(x) \ge 0$ হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে প্রদত্ত সম্ভাবনা বিন্যাসটি নিম্নরূপ:

   $x$	$P(x)$	$x \cdot P(x)$
   $-4$	$0.1$	$-0.4$
   $-2$	$0.3$	$-0.6$
   $0$	$0.2$	$0$
   $2$	$0.3$	$0.6$
   $4$	$0.1$	$0.4$

   গাণিতিক প্রত্যাশার সূত্রানুসারে,
   $E(x) = \sum x \cdot P(x)$
   $= (-4 \times 0.1) + (-2 \times 0.3) + (0 \times 0.2) + (2 \times 0.3) + (4 \times 0.1)$
   $= -0.4 - 0.6 + 0 + 0.6 + 0.4$
   $= 0$

   উত্তর: দৈব চলক $x$ এর গাণিতিক প্রত্যাশা $0$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   নাজিফার বক্তব্যটি হলো: $E(x^2 + 2) = V(2x)$

   আমরা গাণিতিক প্রত্যাশা ও ভেদাঙ্কের মান নির্ণয় করে এটি যাচাই করব:

   ১. $E(x^2)$ নির্ণয়:
   $E(x^2) = \sum x^2 \cdot P(x)$
   $= (-4)^2(0.1) + (-2)^2(0.3) + (0)^2(0.2) + (2)^2(0.3) + (4)^2(0.1)$
   $= 16(0.1) + 4(0.3) + 0 + 4(0.3) + 16(0.1)$
   $= 1.6 + 1.2 + 0 + 1.2 + 1.6$
   $= 5.6$

   অতএব, বামপক্ষ:
   $E(x^2 + 2) = E(x^2) + 2 = 5.6 + 2 = 7.6$

   ২. $V(2x)$ নির্ণয়:
   আমরা জানি, $V(ax) = a^2 V(x)$
   সুতরাং, $V(2x) = 2^2 V(x) = 4 V(x)$

   আবার, $V(x) = E(x^2) - [E(x)]^2$
   (গ) হতে পাই, $E(x) = 0$
   সুতরাং, $V(x) = 5.6 - (0)^2 = 5.6$

   তাহলে, ডানপক্ষ:
   $V(2x) = 4 \times V(x) = 4 \times 5.6 = 22.4$

   এখানে দেখা যাচ্ছে যে,
   বামপক্ষ = $E(x^2 + 2) = 7.6$
   ডানপক্ষ = $V(2x) = 22.4$

   যেহেতু বামপক্ষ $\ne$ ডানপক্ষ ($7.6 \ne 22.4$),
   অতএব, নাজিফার বক্তব্যটি যথার্থ বা সঠিক নয়।