উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ: 3x² + 2x + 5 = 0
   সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই, a = 3, b = 2, c = 5।

   নিশ্চায়ক, D = b² - 4ac
   = (2)² - 4(3)(5)
   = 4 - 60
   = -56 < 0

   যেহেতু নিশ্চায়ক ঋণাত্মক (D < 0), তাই সমীকরণের মূলদ্বয় জটিল (অবাস্তব) এবং অসমান।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ এ প্রদত্ত সমীকরণ: 2x² - 3x + 1 = 0
   মূলদ্বয় α ও β।
   অতএব,
   α + β = -(-3)/2 = 3/2
   αβ = 1/2

   যে সমীকরণের মূলদ্বয় (α + β) এবং αβ, সেই সমীকরণটির:
   মূলদ্বয়ের যোগফল = (α + β) + αβ = 3/2 + 1/2 = 4/2 = 2
   মূলদ্বয়ের গুণফল = (α + β) × αβ = (3/2) × (1/2) = 3/4

   অতএব, নির্ণেয় সমীকরণটি হবে:
   x² - (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + (মূলদ্বয়ের গুণফল) = 0
   => x² - 2x + 3/4 = 0
   => 4x² - 8x + 3 = 0।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণ দুটি:
   x² + x - k = 0 ... (1)
   x² - 7x + (k + 4) = 0 ... (2)

   ধরি, সমীকরণদ্বয়ের একটি মাত্র সাধারণ মূল α।
   সুতরাং,
   α² + α - k = 0 ... (3)
   α² - 7α + (k + 4) = 0 ... (4)

   বজ্রগুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই:
   α² / [1 × (k + 4) - (-k)(-7)] = α / [(-k)(1) - 1 × (k + 4)] = 1 / [1 × (-7) - 1 × 1]
   => α² / [k + 4 - 7k] = α / [-k - k - 4] = 1 / [-7 - 1]
   => α² / (4 - 6k) = α / (-2k - 4) = 1 / (-8)
   => α² / (6k - 4) = α / (2k + 4) = 1 / 8

   প্রথম ও দ্বিতীয় অনুপাত থেকে:
   α = (6k - 4) / (2k + 4) = (3k - 2) / (k + 2) [যেহেতু k ≠ -2]

   দ্বিতীয় ও তৃতীয় অনুপাত থেকে:
   α = (2k + 4) / 8 = (k + 2) / 4

   সুতরাং,
   (3k - 2) / (k + 2) = (k + 2) / 4
   => 4(3k - 2) = (k + 2)²
   => 12k - 8 = k² + 4k + 4
   => k² - 8k + 12 = 0
   => k² - 6k - 2k + 12 = 0
   => (k - 6)(k - 2) = 0

   অতএব, k = 2 অথবা k = 6।

   [যাচাই: k = 2 হলে সমীকরণদ্বয় x² + x - 2 = 0 এবং x² - 7x + 6 = 0, সাধারণ মূল 1 (একটি মাত্র সাধারণ মূল)।
   k = 6 হলে সমীকরণদ্বয় x² + x - 6 = 0 এবং x² - 7x + 10 = 0, সাধারণ মূল 2 (একটি মাত্র সাধারণ মূল)।]

   নির্ণেয় k এর মান 2 বা 6।