উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   আমরা জানি, $e^{\ln(\ln x)} = \ln x$ (যেহেতু $e^{\ln u} = u$)

   অতএব,
   $\int e^{\ln(\ln x)} dx = \int \ln x \, dx$

   $u = \ln x$ এবং $v = 1$ ধরে খণ্ডশ সমাকলন (integration by parts) করে পাই:
   $= (\ln x) \int 1 \, dx - \int \left( \frac{d}{dx}(\ln x) \int 1 \, dx \right) dx$
   $= x \ln x - \int \frac{1}{x} \cdot x \, dx$
   $= x \ln x - \int 1 \, dx$
   $= x \ln x - x + c$
   (যেখানে $c$ একটি সমাকলন ধ্রুবক)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $F(x) = \sin x$

   প্রদত্ত রাশি:
   $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \{F(x)\}^5 \sqrt{1 - \{F(x)\}^2}^{\,4} dx$
   $= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x \left(\sqrt{1 - \sin^2 x}\right)^4 dx$
   $= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x (\cos x)^4 dx$
   $= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \cos^4 x \sin x \, dx$
   $= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos^2 x)^2 \cos^4 x \sin x \, dx$

   ধরি, $z = \cos x \implies dz = -\sin x \, dx$
   সীমা পরিবর্তন:
   যখন $x = 0$, $z = 1$
   যখন $x = \frac{\pi}{2}$, $z = 0$

   অতএব,
   $I = \int_{1}^{0} (1 - z^2)^2 z^4 (-dz)$
   $= \int_{0}^{1} (1 - 2z^2 + z^4) z^4 \, dz$
   $= \int_{0}^{1} (z^4 - 2z^6 + z^8) \, dz$
   $= \left[ \frac{z^5}{5} - \frac{2z^7}{7} + \frac{z^9}{9} \right]_{0}^{1}$
   $= \frac{1}{5} - \frac{2}{7} + \frac{1}{9}$
   $= \frac{63 - 90 + 35}{315} = \frac{8}{315}$

   নির্ণেয় মান $\frac{8}{315}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়:
   $y^2 = x$ ...... (i)
   $y - x + 2 = 0 \implies x = y + 2$ ...... (ii)

   ছেদবিন্দু নির্ণয়ের জন্য (ii) হতে $x$-এর মান (i)-এ বসিয়ে পাই:
   $y^2 = y + 2$
   $\Rightarrow y^2 - y - 2 = 0$
   $\Rightarrow (y - 2)(y + 1) = 0$
   $\therefore y = 2, -1$

   যখন $y = 2$, $x = 2^2 = 4$
   যখন $y = -1$, $x = (-1)^2 = 1$
   সুতরাং ছেদবিন্দুদ্বয় হলো $(4, 2)$ এবং $(1, -1)$।

   [চিত্রের বিবরণ: চিত্রে $y^2 = x$ পরাবৃত্তটি ডানমুখী এবং $x$-অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম, যার শীর্ষ $(0,0)$। $x - y = 2$ সরলরেখাটি পরাবৃত্তটিকে $(1, -1)$ এবং $(4, 2)$ বিন্দুতে ছেদ করে। এই দুই বক্ররেখার মধ্যবর্তী আবদ্ধ এলাকাটি সমাকলনের মাধ্যমে নির্ণয় করা হয়।]

   নির্ণেয় আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল:
   $A = \int_{-1}^{2} (x_{\text{রেখা}} - x_{\text{পরাবৃত্ত}}) \, dy$
   $= \int_{-1}^{2} ((y + 2) - y^2) \, dy$
   $= \left[ \frac{y^2}{2} + 2y - \frac{y^3}{3} \right]_{-1}^{2}$
   $= \left( \frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - 2 - \frac{-1}{3} \right)$
   $= \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( -\frac{3}{2} + \frac{1}{3} \right)$
   $= \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right)$
   $= \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20 + 7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ বর্গ একক}$

   অতএব, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $\frac{9}{2}$ বর্গ একক।