উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে, AB সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিতাংশের প্রান্তবিন্দুদ্বয় হলো $A(5, 0)$ এবং $B(0, 7)$।

   ধরি, খণ্ডিতাংশ $AB$-কে সমত্রিখণ্ডিত করে এমন বিন্দুদ্বয় হলো $P$ ও $Q$, যেখানে $P$ বিন্দু $AB$-কে $1:2$ অনুপাতে এবং $Q$ বিন্দু $AB$-কে $2:1$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

   $P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক:
   $x = \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot 5}{1 + 2} = \frac{10}{3}$
   $y = \frac{1 \cdot 7 + 2 \cdot 0}{1 + 2} = \frac{7}{3}$
   অতএব, $P \equiv \left(\frac{10}{3}, \frac{7}{3}\right)$

   $Q$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক:
   $x = \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 5}{2 + 1} = \frac{5}{3}$
   $y = \frac{2 \cdot 7 + 1 \cdot 0}{2 + 1} = \frac{14}{3}$
   অতএব, $Q \equiv \left(\frac{5}{3}, \frac{14}{3}\right)$

   নির্ণেয় ত্রিখণ্ডন বিন্দুদ্বয়: $\left(\frac{10}{3}, \frac{7}{3}\right)$ এবং $\left(\frac{5}{3}, \frac{14}{3}\right)$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $A(5, 0)$ এবং $B(0, 7)$ বিন্দুগামী সরলরেখা $AB$-এর ঢাল, $m_1 = \frac{7 - 0}{0 - 5} = -\frac{7}{5}$।

   ধরি, নির্ণেয় রেখার ঢাল $m$।
   প্রশ্নমতে, রেখাটি $AB$ রেখার সাথে $45^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে।
   অতএব,
   $\tan 45^\circ = \left| \frac{m - m_1}{1 + m m_1} \right|$
   $\Rightarrow 1 = \pm \frac{m - \left(-\frac{7}{5}\right)}{1 + m\left(-\frac{7}{5}\right)} = \pm \frac{5m + 7}{5 - 7m}$

   (+) চিহ্ন নিয়ে পাই:
   $5 - 7m = 5m + 7$
   $\Rightarrow 12m = -2 \Rightarrow m = -\frac{1}{6}$

   (-) চিহ্ন নিয়ে পাই:
   $-(5 - 7m) = 5m + 7$
   $\Rightarrow -5 + 7m = 5m + 7$
   $\Rightarrow 2m = 12 \Rightarrow m = 6$

   রেখাটি $(7, 9)$ বিন্দুগামী।
   যখন $m = -\frac{1}{6}$:
   $y - 9 = -\frac{1}{6}(x - 7)$
   $\Rightarrow 6y - 54 = -x + 7$
   $\Rightarrow x + 6y - 61 = 0$

   যখন $m = 6$:
   $y - 9 = 6(x - 7)$
   $\Rightarrow y - 9 = 6x - 42$
   $\Rightarrow 6x - y - 33 = 0$

   নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ: $x + 6y - 61 = 0$ অথবা $6x - y - 33 = 0$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $A(5, 0)$ ও $B(0, 7)$ বিন্দুগামী সরলরেখা $AB$-এর সমীকরণ:
   $\frac{x}{5} + \frac{y}{7} = 1$
   $\Rightarrow 7x + 5y - 35 = 0$ ..... (i)

   $AB$ রেখার উপর লম্ব যেকোনো রেখার সমীকরণ:
   $5x - 7y + k = 0$
   যেহেতু লম্বরেখাটি $C(-4, 5)$ বিন্দুগামী, তাই:
   $5(-4) - 7(5) + k = 0$
   $\Rightarrow -20 - 35 + k = 0$
   $\Rightarrow k = 55$

   সুতরাং, $CD$ রেখার সমীকরণ:
   $5x - 7y + 55 = 0$ ..... (ii)

   $D$ বিন্দু হলো (i) ও (ii) নং রেখার ছেদবিন্দু।
   বজ্রগুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই:
   $\frac{x}{(5)(55) - (-7)(-35)} = \frac{y}{(-35)(5) - (7)(55)} = \frac{1}{(7)(-7) - (5)(5)}$
   $\Rightarrow \frac{x}{275 - 245} = \frac{y}{-175 - 385} = \frac{1}{-49 - 25}$
   $\Rightarrow \frac{x}{30} = \frac{y}{-560} = \frac{1}{-74}$

   অতএব,
   $x = \frac{30}{-74} = -\frac{15}{37}$
   $y = \frac{-560}{-74} = \frac{280}{37}$

   সুতরাং, $D$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $\left(-\frac{15}{37}, \frac{280}{37}\right)$।