উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Rajshahi Board • রাজশাহী বোর্ড ২০২৫

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উদ্দীপক-১: f(x)=secx f(x) = secx
উদ্দীপক-২: 9x2+16y2=144 9x^2 + 16y^2 = 144

  1. ক)

    lim⁡x→π2(π2−x)tan⁡x \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left( \frac{\pi}{2} - x \right) \tan x এর মান নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    উদ্দীপক-১ এর আলোকে দেখাও যে, (1−x2)y2−xy1−2=0 (1 - x^2)y_2 - xy_1 - 2 = 0 , যেখানে 1f(y)=x \frac{1}{f(\sqrt{y})} = x .

    (4)
  3. গ)

    উদ্দীপক-২ এর উপবৃত্ত ও x=2 x = 2 সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ উপবৃত্তের বৃহত্তর অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, π2−x=h\frac{\pi}{2} - x = h
    যখন x→π2x \to \frac{\pi}{2}, তখন h→0h \to 0 এবং x=π2−hx = \frac{\pi}{2} - h

    প্রদত্ত রাশি:
    lim⁡x→π2(π2−x)tan⁡x=lim⁡h→0htan⁡(π2−h)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left( \frac{\pi}{2} - x \right) \tan x = \lim_{h \to 0} h \tan\left(\frac{\pi}{2} - h\right)
    =lim⁡h→0hcot⁡h=lim⁡h→0htan⁡h=1= \lim_{h \to 0} h \cot h = \lim_{h \to 0} \frac{h}{\tan h} = 1

    অতএব, নির্ণেয় মান 11।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, f(x)=sec⁡xf(x) = \sec x
    অতএব, f(y)=sec⁡(y)f(\sqrt{y}) = \sec(\sqrt{y})
    শর্তানুসারে,
    1f(y)=x  ⟹  1sec⁡(y)=x  ⟹  cos⁡(y)=x\frac{1}{f(\sqrt{y})} = x \implies \frac{1}{\sec(\sqrt{y})} = x \implies \cos(\sqrt{y}) = x
      ⟹  y=cos⁡−1x\implies \sqrt{y} = \cos^{-1} x
      ⟹  y=(cos⁡−1x)2\implies y = (\cos^{-1} x)^2

    xx এর সাপেক্ষে পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ করি:
    y1=2(cos⁡−1x)⋅(−11−x2)y_1 = 2(\cos^{-1} x) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\right)
      ⟹  1−x2y1=−2cos⁡−1x\implies \sqrt{1 - x^2} y_1 = -2\cos^{-1} x
    উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
    (1−x2)y12=4(cos⁡−1x)2=4y(1 - x^2) y_1^2 = 4 (\cos^{-1} x)^2 = 4y

    পুনরায় xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
    ddx[(1−x2)y12]=ddx[4y]\frac{d}{dx}[(1 - x^2) y_1^2] = \frac{d}{dx}[4y]
      ⟹  (1−x2)⋅2y1y2+y12(−2x)=4y1\implies (1 - x^2) \cdot 2y_1 y_2 + y_1^2 (-2x) = 4y_1
    উভয়পক্ষকে 2y12y_1 দ্বারা ভাগ করে পাই (y1≠0y_1 \neq 0):
    (1−x2)y2−xy1=2(1 - x^2) y_2 - xy_1 = 2
      ⟹  (1−x2)y2−xy1−2=0\implies (1 - x^2) y_2 - xy_1 - 2 = 0
    (দেখানো হলো)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপক-২ এর সমীকরণ:
    9x2+16y2=144  ⟹  x216+y29=1  ⟹  x242+y232=19x^2 + 16y^2 = 144 \implies \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \implies \frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1
    এখানে a=4,b=3a = 4, b = 3।
    উপবৃত্তটির মোট ক্ষেত্রফল =πab=π×4×3=12π= \pi a b = \pi \times 4 \times 3 = 12\pi বর্গ একক।

    x=2x = 2 সরলরেখাটি উপবৃত্তটিকে দুটি অংশে বিভক্ত করে। x=2x = 2 থেকে x=4x = 4 অংশের ক্ষেত্রফল (ক্ষুদ্রতর অংশ):
    Aক্ষুদ্র=2∫24y dx=2∫243416−x2 dx=32∫2442−x2 dxA_{\text{ক্ষুদ্র}} = 2 \int_{2}^{4} y\, dx = 2 \int_{2}^{4} \frac{3}{4}\sqrt{16 - x^2}\, dx = \frac{3}{2} \int_{2}^{4} \sqrt{4^2 - x^2}\, dx
    =32[x216−x2+162sin⁡−1(x4)]24= \frac{3}{2} \left[ \frac{x}{2}\sqrt{16 - x^2} + \frac{16}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{4}\right) \right]_{2}^{4}
    =32[(0+8sin⁡−1(1))−(2216−4+8sin⁡−1(12))]= \frac{3}{2} \left[ \left(0 + 8\sin^{-1}(1)\right) - \left(\frac{2}{2}\sqrt{16 - 4} + 8\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \right]
    =32[8(π2)−12−8(π6)]= \frac{3}{2} \left[ 8\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sqrt{12} - 8\left(\frac{\pi}{6}\right) \right]
    =32[4π−23−4π3]=32[8π3−23]=4π−33= \frac{3}{2} \left[ 4\pi - 2\sqrt{3} - \frac{4\pi}{3} \right] = \frac{3}{2} \left[ \frac{8\pi}{3} - 2\sqrt{3} \right] = 4\pi - 3\sqrt{3}

    অতএব, বৃহত্তর অংশের ক্ষেত্রফল:
    Aবৃহৎ=Aমোট−Aক্ষুদ্র=12π−(4π−33)=8π+33A_{\text{বৃহৎ}} = A_{\text{মোট}} - A_{\text{ক্ষুদ্র}} = 12\pi - (4\pi - 3\sqrt{3}) = 8\pi + 3\sqrt{3}

    নির্ণেয় বৃহত্তর অংশের ক্ষেত্রফল 8π+338\pi + 3\sqrt{3} বর্গ একক।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন