উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত উপবৃত্তের সমীকরণ:
   $8x^2 + 4y^2 = 12$
   বা, $\frac{8x^2}{12} + \frac{4y^2}{12} = 1$
   বা, $\frac{x^2}{\frac{3}{2}} + \frac{y^2}{3} = 1$

   এখানে, $a^2 = \frac{3}{2}$ এবং $b^2 = 3$

   প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ: $y = 2x + c$
   রেখাটিকে $y = mx + c$ এর সাথে তুলনা করে পাই, $m = 2$।

   আমরা জানি, $y = mx + c$ রেখাটি $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ উপবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্ত:
   $c^2 = a^2m^2 + b^2$
   বা, $c^2 = \left(\frac{3}{2}\right) \cdot (2)^2 + 3$
   বা, $c^2 = \left(\frac{3}{2}\right) \cdot 4 + 3 = 6 + 3 = 9$
   বা, $c = \pm 3$

   অতএব, $c$-এর নির্ণেয় মান $\pm 3$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ এ প্রদত্ত সমীকরণ:
   $2x^2 + y^2 - 8x - 2y + 1 = 0$
   বা, $2(x^2 - 4x) + (y^2 - 2y) + 1 = 0$
   বা, $2(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) + 1 - 8 - 1 = 0$
   বা, $2(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 8$
   বা, $\frac{(x - 2)^2}{4} + \frac{(y - 1)^2}{8} = 1$

   ধরি, $X = x - 2$ এবং $Y = y - 1$
   তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়: $\frac{X^2}{a^2} + \frac{Y^2}{b^2} = 1$; যেখানে $a^2 = 4 \implies a = 2$ এবং $b^2 = 8 \implies b = 2\sqrt{2}$।
   যেহেতু $b > a$, তাই উৎকেন্দ্রিকতা $e$:
   $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 - \frac{4}{8}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

   উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক:
   $X = 0$ এবং $Y = \pm be$
   বা, $x - 2 = 0 \implies x = 2$
   এবং $y - 1 = \pm 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm 2$
   $\implies y = 1 \pm 2$
   সুতরাং, $y = 3$ অথবা $y = -1$
   অতএব, উপকেন্দ্রদ্বয় $(2, 3)$ এবং $(2, -1)$।

   উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য:
   $\frac{2a^2}{b} = \frac{2 \times 4}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$

   উত্তর: উপকেন্দ্রদ্বয় $(2, 3)$ ও $(2, -1)$ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $2\sqrt{2}$ একক।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্র (দৃশ্যকল্প-২) হতে পাই,
   অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র, $S(1, 2)$
   দ্বিখণ্ডক বা নিয়ামকরেখার সমীকরণ, $x + 2y - 1 = 0$
   এবং দেওয়া আছে উৎকেন্দ্রিকতা, $e = \sqrt{3}$।

   অধিবৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দু $P(x, y)$ হলে, কণিক-এর সংজ্ঞানুসারে,
   $SP = e \cdot PM$
   বা, $SP^2 = e^2 \cdot PM^2$
   বা, $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{3})^2 \cdot \left(\frac{|x + 2y - 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2}}\right)^2$
   বা, $(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) = 3 \cdot \frac{(x + 2y - 1)^2}{5}$
   বা, $5(x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5) = 3(x^2 + 4y^2 + 1 + 4xy - 2x - 4y)$
   বা, $5x^2 + 5y^2 - 10x - 20y + 25 = 3x^2 + 12y^2 + 3 + 12xy - 6x - 12y$
   বা, $(5x^2 - 3x^2) - 12xy + (5y^2 - 12y^2) + (-10x + 6x) + (-20y + 12y) + (25 - 3) = 0$
   বা, $2x^2 - 12xy - 7y^2 - 4x - 8y + 22 = 0$

   যা নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।