উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: ক-অংশে 'x29−y216=1' মুদ্রণত্রুটিযুক্ত পাঠকে আদর্শ সমীকরণ x^2/9 - y^2/16 = 1 ধরা হয়েছে। | খ-অংশে উদ্দীপকে প্রদত্ত সাংখ্যিক মান অপরিবর্তিত রেখে তথ্যের অসঙ্গতি ব্যাখ্যা করা হয়েছে।

   প্রদত্ত সমীকরণ: $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$
   এখানে, $a^2 = 9, b^2 = 16$।
   $\therefore e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{16}{9}} = \frac{5}{3}$

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: ক-অংশে 'x29−y216=1' মুদ্রণত্রুটিযুক্ত পাঠকে আদর্শ সমীকরণ x^2/9 - y^2/16 = 1 ধরা হয়েছে। | খ-অংশে উদ্দীপকে প্রদত্ত সাংখ্যিক মান অপরিবর্তিত রেখে তথ্যের অসঙ্গতি ব্যাখ্যা করা হয়েছে।

   উপকেন্দ্র $S(1, -2)$ হতে শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শক $2x - y - 4 = 0$-এর লম্ব দূরত্ব $a = \frac{|2(1) - (-2) - 4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = 0$। পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে $a > 0$ হওয়া আবশ্যক; উপকেন্দ্র শীর্ষস্পর্শকের ওপর অবস্থান করতে পারে না। অতএব উদ্দীপকের উপাত্তে গাণিতিক অসঙ্গতি রয়েছে।

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: ক-অংশে 'x29−y216=1' মুদ্রণত্রুটিযুক্ত পাঠকে আদর্শ সমীকরণ x^2/9 - y^2/16 = 1 ধরা হয়েছে। | খ-অংশে উদ্দীপকে প্রদত্ত সাংখ্যিক মান অপরিবর্তিত রেখে তথ্যের অসঙ্গতি ব্যাখ্যা করা হয়েছে।

   উপকেন্দ্রদ্বয় $S(-2, 0)$ ও $S'(2, 0)$ হওয়ায় কেন্দ্র মূলবিন্দু $(0, 0)$ এবং উপবৃত্তের সমীকরণ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b$)।
   উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব $2ae = 4 \implies ae = 2$।
   উপবৃত্তটি $(4, 0)$ বিন্দুগামী হওয়ায় $a = 4$ এবং $a^2 = 16$।
   $\therefore b^2 = a^2 - (ae)^2 = 16 - 4 = 12$।
   নির্ণেয় সমীকরণ: $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1$ বা $3x^2 + 4y^2 = 48$।