উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, সমান বলদ্বয় প্রত্যেকে $P$।

   ১ম ক্ষেত্রে, অন্তর্ভুক্ত কোণ $2\alpha$ হলে লব্ধি,
   $R_1 = \sqrt{P^2 + P^2 + 2P \cdot P \cos 2\alpha} = \sqrt{2P^2(1 + \cos 2\alpha)} = \sqrt{2P^2 \cdot 2\cos^2 \alpha} = 2P\cos\alpha$

   ২য় ক্ষেত্রে, অন্তর্ভুক্ত কোণ $2\theta$ হলে লব্ধি,
   $R_2 = \sqrt{P^2 + P^2 + 2P \cdot P \cos 2\theta} = \sqrt{2P^2(1 + \cos 2\theta)} = \sqrt{2P^2 \cdot 2\cos^2 \theta} = 2P\cos\theta$

   প্রশ্নমতে,
   $R_1 = 2 R_2$
   $\Rightarrow 2P\cos\alpha = 2(2P\cos\theta)$
   $\Rightarrow \cos\alpha = 2\cos\theta$ (প্রমাণিত)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ হতে,
   $OA$ বরাবর ক্রিয়াশীল বল $= S + T$ এবং $OB$ বরাবর ক্রিয়াশীল বল $= S - T$।
   বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\angle AOB = \alpha$। ধরি, লব্ধি $R$ যা $OA$-এর সাথে সমদ্বিখণ্ডক বরাবর ক্রিয়া না করে $\angle AOC = \frac{\alpha}{2} - \theta$ কোণে বা চিত্রানুসারে অন্তর্ভুক্ত কোণদ্বয় যথাক্রমে $\frac{\alpha}{2} - \theta$ এবং $\frac{\alpha}{2} + \theta$।
   চিত্রানুসারে, বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখণ্ডক রেখা $OD$ যা $OA$ ও $OB$-এর সাথে $\frac{\alpha}{2}$ কোণ উৎপন্ন করে।
   লব্ধি $R$, সমদ্বিখণ্ডক $OD$-এর সাথে $\theta$ কোণ তৈরি করেছে।
   অতএব, $OA$ বরাবর বলের সাথে লব্ধির কোণ $= \frac{\alpha}{2} - \theta$ এবং $OB$ বরাবর বলের সাথে লব্ধির কোণ $= \frac{\alpha}{2} + \theta$।

   আমরা জানি, লব্ধির দিক সংক্রান্ত সূত্রানুযায়ী:
   $\tan\left(\frac{\alpha}{2} - \theta\right) = \frac{(S - T)\sin\alpha}{(S + T) + (S - T)\cos\alpha}$
   বা, বলের সাইন সূত্র (Lami's-like triangle of forces) $\triangle OBC$ থেকে পাই:
   $\frac{OA}{\sin\angle OCA} = \frac{AC}{\sin\angle AOC} = \frac{OB}{\sin\angle OBC}$
   এখানে $\angle AOC = \frac{\alpha}{2} - \theta$ এবং $\angle BOC = \frac{\alpha}{2} + \theta$।
   $\triangle OAC$-এ সাইন সূত্র প্রয়োগ করে পাই:
   $\frac{S + T}{\sin(\frac{\alpha}{2} + \theta)} = \frac{S - T}{\sin(\frac{\alpha}{2} - \theta)}$
   $\Rightarrow \frac{S + T}{S - T} = \frac{\sin(\frac{\alpha}{2} + \theta)}{\sin(\frac{\alpha}{2} - \theta)}$

   যোজন-বিয়োজন করে পাই,
   $\frac{(S + T) + (S - T)}{(S + T) - (S - T)} = \frac{\sin(\frac{\alpha}{2} + \theta) + \sin(\frac{\alpha}{2} - \theta)}{\sin(\frac{\alpha}{2} + \theta) - \sin(\frac{\alpha}{2} - \theta)}$
   $\Rightarrow \frac{2S}{2T} = \frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\theta}{2\cos\frac{\alpha}{2}\sin\theta}$
   $\Rightarrow \frac{S}{T} = \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$
   $\Rightarrow \frac{S}{T} = \tan\frac{\alpha}{2} \cdot \cot\theta$
   $\Rightarrow \frac{S}{T} = \frac{\tan\frac{\alpha}{2}}{\tan\theta}$
   $\Rightarrow T\tan\theta = S\tan\frac{\alpha}{2}$ (প্রমাণিত)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ হতে,
   $A$ ও $B$ বিন্দুতে যথাক্রমে $P$ ও $Q$ দুটি সমমুখী সমান্তরাল বল ক্রিয়াশীল ($P > Q$)।
   লব্ধি $P + Q$ বিন্দু $C$-তে ক্রিয়া করে।
   দেওয়া আছে, $AC = CD = BD = x$ (ধরি)।
   তাহলে, $AB = AC + CD + BD = x + x + x = 3x$।
   এবং $BC = CD + BD = 2x$।

   সমান্তরাল বলের সূত্রানুসারে,
   $P \cdot AC = Q \cdot BC$
   $\Rightarrow P \cdot x = Q \cdot 2x$
   $\Rightarrow P = 2Q$
   $\Rightarrow \frac{P}{Q} = \frac{2}{1}$
   $\therefore P : Q = 2 : 1$

   (উল্লেখ্য, বলদ্বয় স্থান বিনিময় করলে লব্ধি $D$ বিন্দুতে সরে যায়, তখন $Q \cdot AD = P \cdot BD \Rightarrow Q \cdot 2x = P \cdot x \Rightarrow P = 2Q$, যা অভিন্ন শর্ত নির্দেশ করে)।

   অতএব, $P : Q = 2 : 1$ (প্রমাণিত)।