উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Sylhet Board • সিলেট বোর্ড ২০১৯

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

ϕ(x)=ℓx2+mx+n \phi(x)=\ell x^{2}+m x+n .

  1. ক)

    x3+x2+4x+4=0 x^{3}+x^{2}+4 x+4=0 সমীকরণের একটি মূল 2i 2 i হলে, সমীকরণটি সমাধান কর।

    (2)
  2. খ)

    φ(x)=0 \varphi(\mathrm{x})=0 সমীকরণের মূলদ্বয় a,b \mathrm{a}, \mathrm{b} হলে, nl(x2+1)+(2nl−m2)x=0 \mathrm{n} l\left(\mathrm{x}^{2}+1\right)+\left(2 \mathrm{n} l-\mathrm{m}^{2}\right) \mathrm{x}=0 সমীকরণের মূলদ্বয়কে a, b এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

    (4)
  3. গ)

    l=42, m=−13,n=1 l=42, \mathrm{~m}=-13, \mathrm{n}=1 হলে, {φ(x)}−1 {\varphi(\mathrm{x})}^{-1} এর বিস্তৃতিতে x99 \mathrm{x}^{99} এর সহগ নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত সমীকরণ: x3+x2+4x+4=0x^3 + x^2 + 4x + 4 = 0
    বা, x2(x+1)+4(x+1)=0x^2(x + 1) + 4(x + 1) = 0
    বা, (x+1)(x2+4)=0(x + 1)(x^2 + 4) = 0

    হয়, x+1=0  ⟹  x=−1x + 1 = 0 \implies x = -1
    অথবা, x2+4=0  ⟹  x2=−4  ⟹  x=±−4=±2ix^2 + 4 = 0 \implies x^2 = -4 \implies x = \pm \sqrt{-4} = \pm 2i

    যেহেতু একটি মূল 2i2i দেওয়া আছে, তাই সমীকরণটির সমাধানসমূহ হলো: x=−1,2i,−2ix = -1, 2i, -2i।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, ϕ(x)=ℓx2+mx+n=0\phi(x) = \ell x^2 + mx + n = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় aa ও bb।
    অতএব, মূলদ্বয়ের যোগফল, a+b=−mℓa + b = -\frac{m}{\ell}
    এবং গুণফল, ab=nℓab = \frac{n}{\ell}

    দ্বিতীয় সমীকরণটি হলো:
    nℓ(x2+1)+(2nℓ−m2)x=0n\ell(x^2 + 1) + (2n\ell - m^2)x = 0
    বা, nℓx2+2nℓx−m2x+nℓ=0n\ell x^2 + 2n\ell x - m^2 x + n\ell = 0
    বা, nℓ(x2+2x+1)−m2x=0n\ell(x^2 + 2x + 1) - m^2 x = 0
    বা, nℓ(x+1)2−m2x=0n\ell(x + 1)^2 - m^2 x = 0

    উভয়পক্ষকে ℓ2\ell^2 দ্বারা ভাগ করে পাই,
    nℓ(x+1)2−(−mℓ)2x=0\frac{n}{\ell}(x + 1)^2 - \left(-\frac{m}{\ell}\right)^2 x = 0
    বা, ab(x+1)2−(a+b)2x=0ab(x + 1)^2 - (a + b)^2 x = 0
    বা, ab(x2+2x+1)−(a2+2ab+b2)x=0ab(x^2 + 2x + 1) - (a^2 + 2ab + b^2)x = 0
    বা, abx2+2abx+ab−a2x−2abx−b2x=0abx^2 + 2abx + ab - a^2 x - 2abx - b^2 x = 0
    বা, abx2−(a2+b2)x+ab=0abx^2 - (a^2 + b^2)x + ab = 0
    বা, abx2−a2x−b2x+ab=0abx^2 - a^2 x - b^2 x + ab = 0
    বা, ax(bx−a)−b(bx−a)=0ax(bx - a) - b(bx - a) = 0
    বা, (ax−b)(bx−a)=0(ax - b)(bx - a) = 0

    সুতরাং, ax−b=0  ⟹  x=baax - b = 0 \implies x = \frac{b}{a}
    অথবা, bx−a=0  ⟹  x=abbx - a = 0 \implies x = \frac{a}{b}

    অতএব, নির্ণেয় মূলদ্বয় হলো: ab,ba\frac{a}{b}, \frac{b}{a}।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, ℓ=42,m=−13,n=1\ell = 42, m = -13, n = 1
    অতএব, ϕ(x)=42x2−13x+1\phi(x) = 42x^2 - 13x + 1

    আমরা ϕ(x)\phi(x) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:
    ϕ(x)=42x2−7x−6x+1=7x(6x−1)−1(6x−1)=(6x−1)(7x−1)=(1−6x)(1−7x)\phi(x) = 42x^2 - 7x - 6x + 1 = 7x(6x - 1) - 1(6x - 1) = (6x - 1)(7x - 1) = (1 - 6x)(1 - 7x)

    অতএব,
    {ϕ(x)}−1=1(1−6x)(1−7x)\{\phi(x)\}^{-1} = \frac{1}{(1 - 6x)(1 - 7x)}

    আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করে পাই,
    1(1−6x)(1−7x)=A1−6x+B1−7x\frac{1}{(1 - 6x)(1 - 7x)} = \frac{A}{1 - 6x} + \frac{B}{1 - 7x}
    1=A(1−7x)+B(1−6x)1 = A(1 - 7x) + B(1 - 6x)

    x=16x = \frac{1}{6} বসালে: 1=A(1−76)  ⟹  1=−16A  ⟹  A=−61 = A\left(1 - \frac{7}{6}\right) \implies 1 = -\frac{1}{6}A \implies A = -6
    x=17x = \frac{1}{7} বসালে: 1=B(1−67)  ⟹  1=17B  ⟹  B=71 = B\left(1 - \frac{6}{7}\right) \implies 1 = \frac{1}{7}B \implies B = 7

    সুতরাং,
    {ϕ(x)}−1=71−7x−61−6x=7(1−7x)−1−6(1−6x)−1\{\phi(x)\}^{-1} = \frac{7}{1 - 7x} - \frac{6}{1 - 6x} = 7(1 - 7x)^{-1} - 6(1 - 6x)^{-1}

    আমরা জানি, (1−y)−1=1+y+y2+⋯+yr+…(1 - y)^{-1} = 1 + y + y^2 + \dots + y^r + \dots
    অতএব, বিস্তৃতিতে xrx^r-এর সহগ:
    =7⋅7r−6⋅6r=7r+1−6r+1= 7 \cdot 7^r - 6 \cdot 6^r = 7^{r+1} - 6^{r+1}

    অতএব, x99x^{99}-এর সহগের জন্য r=99r = 99 বসিয়ে পাই:
    নির্ণেয় সহগ =799+1−699+1=7100−6100= 7^{99+1} - 6^{99+1} = 7^{100} - 6^{100}।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন