উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত পরাবৃত্তের সমীকরণ:
   $x^2 = 1 - 2y$
   $\implies x^2 = -2\left(y - \frac{1}{2}\right)$
   $\implies X^2 = -4aY$
   যেখানে, $X = x$, $Y = y - \frac{1}{2}$ এবং $4a = 2 \implies a = \frac{1}{2}$।

   আমরা জানি, $X^2 = -4aY$ পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাংক $(0, -a)$।
   অতএব,
   $X = 0 \implies x = 0$
   এবং $Y = -a \implies y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \implies y = 0$

   সুতরাং, নির্ণেয় উপকেন্দ্রের স্থানাংক $(0, 0)$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ থেকে পাই,
   পরাবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু $A(-2, 2)$ এবং উপকেন্দ্র $S(-6, -6)$।

   ধরি, অক্ষরেখা ও দিকাক্ষের ছেদবিন্দু $Z(\alpha, \beta)$।
   আমরা জানি, শীর্ষবিন্দু $A$, $SZ$ রেখাংশের মধ্যবিন্দু।
   অতএব,
   $\frac{\alpha + (-6)}{2} = -2 \implies \alpha - 6 = -4 \implies \alpha = 2$
   $\frac{\beta + (-6)}{2} = 2 \implies \beta - 6 = 4 \implies \beta = 10$
   সুতরাং, $Z$ বিন্দুর স্থানাংক $(2, 10)$।

   অক্ষরেখা $SZ$-এর ঢাল, $m_1 = \frac{-6 - 2}{-6 - (-2)} = \frac{-8}{-4} = 2$
   যেহেতু দিকাক্ষ অক্ষরেখার ওপর লম্ব, তাই দিকাক্ষের ঢাল $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{2}$।

   সুতরাং, $Z(2, 10)$ বিন্দুগামী দিকাক্ষের সমীকরণ:
   $y - 10 = -\frac{1}{2}(x - 2)$
   $\implies 2y - 20 = -x + 2$
   $\implies x + 2y - 22 = 0$

   এখন, পরাবৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দু $P(x, y)$ হলে, পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে:
   $SP = PM$
   $\implies SP^2 = PM^2$
   $\implies (x - (-6))^2 + (y - (-6))^2 = \left(\frac{|x + 2y - 22|}{\sqrt{1^2 + 2^2}}\right)^2$
   $\implies (x + 6)^2 + (y + 6)^2 = \frac{(x + 2y - 22)^2}{5}$
   $\implies 5[(x^2 + 12x + 36) + (y^2 + 12y + 36)] = x^2 + 4y^2 + 484 + 4xy - 44x - 88y$
   $\implies 5(x^2 + y^2 + 12x + 12y + 72) = x^2 + 4xy + 4y^2 - 44x - 88y + 484$
   $\implies 5x^2 + 5y^2 + 60x + 60y + 360 = x^2 + 4xy + 4y^2 - 44x - 88y + 484$
   $\implies 4x^2 - 4xy + y^2 + 104x + 148y - 124 = 0$
   বা, $(2x - y)^2 + 104x + 148y - 124 = 0$

   এটিই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ এ প্রদত্ত সমীকরণ:
   $5x^2 + 15x - 10y - 4 = 0$
   $\implies 5(x^2 + 3x) = 10y + 4$
   $\implies x^2 + 3x = 2y + \frac{4}{5}$
   $\implies x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{3}{2} + \left(\frac{3}{2}\right)^2 = 2y + \frac{4}{5} + \frac{9}{4}$
   $\implies \left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = 2y + \frac{16 + 45}{20}$
   $\implies \left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = 2y + \frac{61}{20}$
   $\implies \left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = 2\left(y + \frac{61}{40}\right)$
   $\implies X^2 = 4aY$
   যেখানে, $X = x + \frac{3}{2}$, $Y = y + \frac{61}{40}$ এবং $4a = 2 \implies a = \frac{1}{2}$।

   ১. শীর্ষবিন্দু:
   $X = 0 \implies x + \frac{3}{2} = 0 \implies x = -\frac{3}{2}$
   $Y = 0 \implies y + \frac{61}{40} = 0 \implies y = -\frac{61}{40}$
   $\therefore$ শীর্ষবিন্দুর স্থানাংক: $\left(-\frac{3}{2}, -\frac{61}{40}\right)$

   ২. উপকেন্দ্র:
   $X = 0 \implies x = -\frac{3}{2}$
   $Y = a \implies y + \frac{61}{40} = \frac{1}{2} \implies y = \frac{1}{2} - \frac{61}{40} = \frac{20 - 61}{40} = -\frac{41}{40}$
   $\therefore$ উপকেন্দ্রের স্থানাংক: $\left(-\frac{3}{2}, -\frac{41}{40}\right)$

   ৩. দিকাক্ষের সমীকরণ:
   $Y = -a$
   $\implies y + \frac{61}{40} = -\frac{1}{2}$
   $\implies y = -\frac{1}{2} - \frac{61}{40} = -\frac{81}{40}$
   $\implies 40y + 81 = 0$

   ৪. উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ:
   $Y = a$
   $\implies y + \frac{61}{40} = \frac{1}{2}$
   $\implies y = \frac{1}{2} - \frac{61}{40} = -\frac{41}{40}$
   $\implies 40y + 41 = 0$