পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র • Dhaka Board • ঢাকা বোর্ড ২০২১

পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

A→=2i^+4j^+2k^,B→=3i^+3j^+4k^ \overrightarrow{\mathrm{A}}=2 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}}+2 \hat{\mathbf{k}}, \overrightarrow{\mathrm{B}}=3 \hat{\mathbf{i}}+3 \hat{\mathbf{j}}+4 \hat{\mathbf{k}} এবং C→=i^+2j^+k^ \overrightarrow{\mathrm{C}}=\hat{\mathbf{i}}+2 \hat{\mathbf{j}}+\hat{\mathbf{k}} ।

  1. ক)

    শিশিরাঙ্ক কী?

    (1)
  2. খ)

    সরল ছন্দিত গতিসম্পন্ন কোনো কণার বেগ শূন্য হলে উহার ত্বরণ কী শূন্য হবে? ব্যাখ্যা কর ।

    (2)
  3. গ)

    B⃗ \vec{B} ও A⃗ \vec{A} ভেক্টর দ্বারা গঠিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

    (3)
  4. ঘ)

    উদ্দীপকের ভেক্টর তিনটি সমতলীয় কিনা? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    যে নির্দিষ্ট তাপমাত্রায় নির্দিষ্ট আয়তনের বায়ুতে উপস্থিত জলীয় বাষ্প দ্বারা বায়ু সম্পৃক্ত হয়, সেই তাপমাত্রাকে ওই বায়ুর শিশিরাঙ্ক বলে।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    সরল ছন্দিত গতিসম্পন্ন কোনো কণার বেগ শূন্য হলে উহার ত্বরণ শূন্য হবে না, বরং ত্বরণ সর্বোচ্চ হবে।

    ব্যাখ্যা: সরল ছন্দিত স্পন্দনে স্পন্দিত কোনো কণার সরণ xx হলে বেগ v=ωA2−x2v = \omega\sqrt{A^2 - x^2} এবং ত্বরণ a=−ω2xa = -\omega^2 x, যেখানে AA হলো বিস্তার এবং ω\omega হলো কৌণিক কম্পাঙ্ক।
    কণাটির বেগ শূন্য হয় প্রান্তীয় বিন্দুতে, অর্থাৎ যখন সরণ সর্বোচ্চ হয় (x=±Ax = \pm A)। তখন ত্বরণের মান দাঁড়ায় amax=ω2Aa_{max} = \omega^2 A, যা সর্বোচ্চ।
    অতএব, কণার বেগ শূন্য হলেও ত্বরণ শূন্য হয় না, বরং সর্বোচ্চ হয়।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপকে প্রদত্ত ভেক্টরদ্বয়:
    A⃗=2i^+4j^+2k^\vec{A} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}
    B⃗=3i^+3j^+4k^\vec{B} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}

    B⃗\vec{B} ও A⃗\vec{A} ভেক্টর দুটি কোনো সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহু নির্দেশ করলে, সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল হবে:
    ক্ষেত্রফল =∣B⃗×A⃗∣= |\vec{B} \times \vec{A}|

    এখন,
    B⃗×A⃗=∣i^j^k^334242∣\vec{B} \times \vec{A} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 2 \end{vmatrix}
    =i^(3×2−4×4)−j^(3×2−4×2)+k^(3×4−3×2)= \hat{i}(3 \times 2 - 4 \times 4) - \hat{j}(3 \times 2 - 4 \times 2) + \hat{k}(3 \times 4 - 3 \times 2)
    =i^(6−16)−j^(6−8)+k^(12−6)= \hat{i}(6 - 16) - \hat{j}(6 - 8) + \hat{k}(12 - 6)
    =−10i^+2j^+6k^= -10\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}

    অতএব, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল:
    ∣B⃗×A⃗∣=(−10)2+22+62|\vec{B} \times \vec{A}| = \sqrt{(-10)^2 + 2^2 + 6^2}
    =100+4+36=140≈11.83= \sqrt{100 + 4 + 36} = \sqrt{140} \approx 11.83 বর্গ একক।

    উত্তর: সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল 140\sqrt{140} বা প্রায় 11.8311.83 বর্গ একক।

  4. ঘ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপকে প্রদত্ত ভেক্টর তিনটি হলো:
    A⃗=2i^+4j^+2k^\vec{A} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}
    B⃗=3i^+3j^+4k^\vec{B} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}
    C⃗=i^+2j^+k^\vec{C} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}

    তিনটি ভেক্টর সমতলীয় হওয়ার শর্ত হলো তাদের স্কেলার ত্রৈগুণন বা বক্স গুণফল শূন্য হতে হবে, অর্থাৎ A⃗⋅(B⃗×C⃗)=0\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = 0।

    এখন,
    A⃗⋅(B⃗×C⃗)=∣242334121∣\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = \begin{vmatrix} 2 & 4 & 2 \\ 3 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}

    নির্ণায়কের মান নির্ণয় করে পাই:
    =2(3×1−4×2)−4(3×1−4×1)+2(3×2−3×1)= 2(3 \times 1 - 4 \times 2) - 4(3 \times 1 - 4 \times 1) + 2(3 \times 2 - 3 \times 1)
    =2(3−8)−4(3−4)+2(6−3)= 2(3 - 8) - 4(3 - 4) + 2(6 - 3)
    =2(−5)−4(−1)+2(3)= 2(-5) - 4(-1) + 2(3)
    =−10+4+6= -10 + 4 + 6
    =−10+10=0= -10 + 10 = 0

    [বিকল্পভাবে লক্ষ্য করা যায়, A⃗=2C⃗\vec{A} = 2\vec{C} হওয়ায় নির্ণায়কের ১ম ও ৩য় সারি সমানুপাতিক, ফলে এর মান সরাসরি 00 হয়।]

    যেহেতু স্কেলার ত্রৈগুণন A⃗⋅(B⃗×C⃗)=0\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = 0, সেহেতু উদ্দীপকের ভেক্টর তিনটি সমতলীয়।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন