পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৫

পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উপরের চিত্রটি লক্ষ্য কর।

  1. ক)

    ব্যাসার্ধ ভেক্টর কাকে বলে?

    (1)
  2. খ)

    ট্রলি ব্যাগের হাতল লম্বা রাখা হয় কেন? ব্যাখ্যা কর।

    (2)
  3. গ)

    PQ⃗ \vec{PQ} -এর সমান্তরাল একক ভেক্টর নির্ণয় কর।

    (3)
  4. ঘ)

    উদ্দীপকের আলোকে ∠POQ \angle POQ এবং ∠OPQ \angle OPQ এর মান সমান কি-না? গাণিতিক বিশ্লেষণসহ যাচাই কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্দেশক ভেক্টরকে অবস্থান ভেক্টর বা ব্যাসার্ধ ভেক্টর (Radius Vector) বলে।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ট্রলি ব্যাগ টানার সময় প্রযুক্ত বল FF অণুভূমিকের সাথে θ\theta কোণে কাজ করে। এই বলের দুটি উপাংশ থাকে—একটি অনুভূমিক উপাংশ Fcos⁡θF\cos\theta, যা ট্রলি ব্যাগকে সামনের দিকে এগিয়ে নিয়ে যায়; এবং অপরটি উলম্ব উপাংশ Fsin⁡θF\sin\theta, যা ব্যাগের ওজনের বিপরীতমুখী হয়ে এর আপাত ওজনকে হ্রাস করে (কার্যকরী ওজন = W−Fsin⁡θW - F\sin\theta)।

    হাতল লম্বা হলে অণুভূমিকের সাথে হাতলের কোণ θ\theta-এর মান হ্রাস পায়। ফলে cos⁡θ\cos\theta-এর মান বৃদ্ধি পায় এবং Fcos⁡θF\cos\theta বৃদ্ধি পাওয়ায় কম বল প্রয়োগ করেই ব্যাগটিকে সহজে সামনে টানা যায়। তাই ট্রলি ব্যাগের হাতল লম্বা রাখা হয়।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপক হতে,
    PP বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, OP⃗=i^+3j^+4k^\vec{OP} = \hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}
    QQ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, OQ⃗=2i^+3j^+4k^\vec{OQ} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}

    অতএব, PQ⃗=OQ⃗−OP⃗\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP}
    =(2i^+3j^+4k^)−(i^+3j^+4k^)= (2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) - (\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k})
    =(2−1)i^+(3−3)j^+(4−4)k^= (2-1)\hat{i} + (3-3)\hat{j} + (4-4)\hat{k}
    =1i^+0j^+0k^=i^= 1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} = \hat{i}

    PQ⃗\vec{PQ}-এর মান, ∣PQ⃗∣=12+02+02=1|\vec{PQ}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1

    সুতরাং, PQ⃗\vec{PQ}-এর সমান্তরাল একক ভেক্টর:
    η^=±PQ⃗∣PQ⃗∣=±i^1=±i^\hat{\eta} = \pm \frac{\vec{PQ}}{|\vec{PQ}|} = \pm \frac{\hat{i}}{1} = \pm \hat{i}

    উত্তর: ±i^\pm \hat{i} (বা নির্দিষ্ট দিকে i^\hat{i})।

  4. ঘ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপকে প্রদত্ত বিন্দুসমূহ:
    O(0,0,0)O(0, 0, 0), P(1,3,4)P(1, 3, 4), Q(2,3,4)Q(2, 3, 4)

    ১. ∠POQ\angle POQ নির্ণয়:
    OP⃗=i^+3j^+4k^\vec{OP} = \hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}
    OQ⃗=2i^+3j^+4k^\vec{OQ} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}

    ∣OP⃗∣=12+32+42=1+9+16=26≈5.099|\vec{OP}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 9 + 16} = \sqrt{26} \approx 5.099
    ∣OQ⃗∣=22+32+42=4+9+16=29≈5.385|\vec{OQ}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29} \approx 5.385

    ডট গুণন হতে পাই,
    OP⃗⋅OQ⃗=(1)(2)+(3)(3)+(4)(4)=2+9+16=27\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = (1)(2) + (3)(3) + (4)(4) = 2 + 9 + 16 = 27

    আমরা জানি,
    cos⁡(∠POQ)=OP⃗⋅OQ⃗∣OP⃗∣∣OQ⃗∣=2726×29=27754≈2727.459≈0.98328\cos(\angle POQ) = \frac{\vec{OP} \cdot \vec{OQ}}{|\vec{OP}| |\vec{OQ}|} = \frac{27}{\sqrt{26} \times \sqrt{29}} = \frac{27}{\sqrt{754}} \approx \frac{27}{27.459} \approx 0.98328
    ∴∠POQ=cos⁡−1(0.98328)≈10.49∘\therefore \angle POQ = \cos^{-1}(0.98328) \approx 10.49^\circ

    ২. ∠OPQ\angle OPQ নির্ণয়:
    ∠OPQ\angle OPQ হলো PO⃗\vec{PO} এবং PQ⃗\vec{PQ} ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ।
    PO⃗=−OP⃗=−i^−3j^−4k^\vec{PO} = -\vec{OP} = -\hat{i} - 3\hat{j} - 4\hat{k}
    PQ⃗=i^\vec{PQ} = \hat{i}

    ∣PO⃗∣=(−1)2+(−3)2+(−4)2=26|\vec{PO}| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{26}
    ∣PQ⃗∣=1|\vec{PQ}| = 1

    ডট গুণন হতে পাই,
    PO⃗⋅PQ⃗=(−1)(1)+(−3)(0)+(−4)(0)=−1\vec{PO} \cdot \vec{PQ} = (-1)(1) + (-3)(0) + (-4)(0) = -1

    আমরা জানি,
    cos⁡(∠OPQ)=PO⃗⋅PQ⃗∣PO⃗∣∣PQ⃗∣=−126×1≈−15.099≈−0.1961\cos(\angle OPQ) = \frac{\vec{PO} \cdot \vec{PQ}}{|\vec{PO}| |\vec{PQ}|} = \frac{-1}{\sqrt{26} \times 1} \approx \frac{-1}{5.099} \approx -0.1961
    ∴∠OPQ=cos⁡−1(−0.1961)≈101.31∘\therefore \angle OPQ = \cos^{-1}(-0.1961) \approx 101.31^\circ

    গাণিতিক বিশ্লেষণ হতে দেখা যায় যে, ∠POQ≈10.49∘\angle POQ \approx 10.49^\circ এবং ∠OPQ≈101.31∘\angle OPQ \approx 101.31^\circ।

    সুতরাং, ∠POQ\angle POQ এবং ∠OPQ\angle OPQ এর মান সমান নয়।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন